研究生考数学1，究竟有哪些重点和难点？

科菲研究生资讯 2025-01-30 08:13:14 27

研究生考数学1：全面解析与备考指南

一、考试概述

研究生入学考试数学1（简称“数1”）是为高等院校和科研机构招收工学门类相关专业的硕士研究生而设置的具有选拔性质的全国统一入学考试科目，它主要考查考生对数学基本概念、理论和方法的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

考试科目	试卷满分	考试时间	答题方式	适用专业
数学1	150分	3小时	闭卷、笔试	工学门类中对数学要求较高的专业，如力学、机械工程、光学工程、材料科学与工程、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20多个一级学科

二、考试内容

（一）高等数学

1、函数、极限、连续

- 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

- 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

- 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

- 掌握基本初等函数的性质与图形，理解初等函数的概念。

- 理解极限的概念及性质，掌握极限的运算法则，理解极限存在的两个准则，掌握利用两个准则判断极限存在的方法，掌握求极限的方法。

- 理解无穷小量的概念和性质，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

- 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

2、一元函数微分学

- 理解导数和微分的概念，理解函数的可导性与连续性之间的关系，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

- 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会用这两个定理证明一些简单不等式，熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限，会求函数的极值、最大值与最小值，会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线，会描绘函数的图形，了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会求平面曲线的曲率和曲率半径。

3、一元函数积分学

- 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

- 理解变限积分函数的概念，掌握求变限积分函数导数的方法，掌握牛顿 - 莱布尼茨公式。

- 理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质，了解定积分中值定理，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

- 理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算方法，了解广义积分的收敛性概念和判别法。

- 了解定积分的应用，包括求平面图形的面积、平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积、功、引力等物理量。

4、多元函数微积分学

- 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义，会求二元函数的定义域、表达式及简单二元函数的极限与连续的判定。

- 理解二元函数偏导数和全微分的概念，掌握二元函数一阶、二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法，了解二元函数偏导数与全微分的关系，会求复合函数与隐函数的偏导数。

- 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

- 理解二重积分的概念、性质和计算方法，掌握二重积分的计算（直角坐标、极坐标），了解三重积分的概念、性质和计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

- 了解两类曲线积分的概念、性质和计算方法，了解两类曲面积分的概念、性质和计算方法，了解场论初步知识（梯度、散度、旋度）。

5、向量代数和空间解析几何

- 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

- 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的夹角，掌握向量在平面和直线中的应用（直线方程、平面方程、直线与平面的关系等）。

- 理解空间曲面方程和空间曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

6、多元函数积分学

- 理解二重积分、三重积分的概念，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

- 了解两类曲线积分的概念、性质和计算方法，了解两类曲面积分的概念、性质和计算方法，了解场论初步知识（梯度、散度、旋度）。

7、无穷级数

- 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与p级数及其收敛性，掌握正项级数收敛性的判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法等），掌握交错级数与莱布尼茨定理，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系，掌握绝对收敛与条件收敛的判别法。

- 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数的和函数，了解函数展开为泰勒级数的充要条件，掌握将一些简单函数展开为麦克劳林级数或泰勒级数。

- 理解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-π, π]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0, l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数。

8、常微分方程

- 理解常微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

- 理解二阶常系数齐次线性微分方程解的性质及通解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，理解二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法（右端项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和与积）。

- 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。