怎么样图像顶点在x轴上

科菲教育相关 2025-03-17 00:40:06 13

怎么样图像顶点在 x 轴上

在数学的函数图像领域，顶点位于 x 轴上的图像具有独特的性质与特征，以下将详细阐述几种常见函数中图像顶点在 x 轴上的判定方法、相关原理以及实际应用。

一、二次函数

（一）标准形式下的判定

对于二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0），其图像是一条抛物线，顶点坐标公式为（-b/2a，4ac - b²/4a），若要使顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标需为 0，即 4ac - b²/4a = 0，经过化简可得 b² - 4ac = 0，这意味着当二次函数的判别式 b² - 4ac = 0 时，其图像的顶点就位于 x 轴上，此时二次函数与 x 轴有且只有一个交点，也就是抛物线的顶点恰好在 x 轴上。

对于函数 y = x² - 6x + 9，a = 1，b = -6，c = 9，计算判别式 b² - 4ac = (-6)² - 4×1×9 = 36 - 36 = 0，所以该函数的图像顶点在 x 轴上，通过配方可将函数化为 y = (x - 3)²，能直观地看出顶点坐标为（3，0），就在 x 轴上。

（二）顶点式下的情况

当二次函数以顶点式 y = a(x - h)² + k（a≠0）给出时，顶点坐标就是（h，k），要使顶点在 x 轴上，则 k = 0，即函数变为 y = a(x - h)²，y = 2(x - 1)²，其顶点坐标为（1，0），很明显在 x 轴上。

二、抛物线的平移变换

在研究抛物线的平移时，如果原抛物线顶点不在 x 轴上，经过平移后使其顶点落在 x 轴上，可以通过分析平移的方向和距离来确定新的函数表达式。

假设原抛物线为 y = ax² + bx + c，顶点坐标为（h，k），若想通过平移让顶点落在 x 轴上，当 k > 0 时，需要将抛物线向下平移 k 个单位；当 k < 0 时，需要将抛物线向上平移 |k|个单位，平移后新的函数解析式可通过对原函数进行相应的上加下减操作得到，比如原函数 y = x² - 2x + 3，顶点坐标为（1，2），向下平移 2 个单位后得到新函数 y = x² - 2x + 1，此时顶点坐标变为（1，0），在 x 轴上了。

三、与其他函数的结合

（一）与一次函数结合

在一些几何问题或函数综合题中，二次函数的图像顶点在 x 轴上可能与一次函数存在关联，已知二次函数图像顶点在 x 轴上，且与某一次函数 y = mx + n 有交点，可通过联立方程组求解交点坐标，再利用顶点在 x 轴上的条件进一步确定函数中的参数关系。

设二次函数为 y = x² + bx + c，顶点在 x 轴上，则 c = b²/4，若与一次函数 y = 2x + 1 有交点，联立方程组可得 x² + bx + b²/4 = 2x + 1，整理后可依据判别式等条件求出 b 的值，进而确定二次函数的具体表达式。

（二）与反比例函数结合

当二次函数图像顶点在 x 轴上与反比例函数 y = k/x 结合时，可能会有交点问题或对称性问题等，比如二次函数 y = ax² + bx + c（顶点在 x 轴上）与反比例函数 y = k/x 的图像在第一象限有交点，可根据交点坐标同时满足两个函数表达式，以及二次函数的顶点条件来建立方程组求解相关参数。

四、实际应用

（一）物理运动轨迹

在物理学中，物体做抛体运动时，其运动轨迹在特定条件下可近似看作二次函数图像，当物体以某一初速度和角度抛出，在不考虑空气阻力的理想情况下，若要求物体落地时的水平位移最大，此时对应的抛物线轨迹的顶点就在 x 轴上，通过对二次函数顶点在 x 轴上条件的应用，可以计算出物体抛出的最优角度等参数，如斜抛运动中，当抛射角为 45°时，物体的运动轨迹对应的二次函数图像顶点在 x 轴上，水平射程最远。