定积分的求导，也被称为勒贝格微分定理（Leibniz Rule），是微积分中的一个重要概念，它描述了如何通过对被积函数进行求导来求取定积分的导数，具体而言，如果有一个变上限积分：
\[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \]
\( a \) 是一个常数，那么根据勒贝格微分定理，该积分的导数为：
\[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right) = f(x) \]
这意味着，变上限积分的导数等于被积函数在上限点的值。
基本公式与推导
1. 基本公式
对于上述变上限积分 \( F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \)，其导数可以表示为：
\[ \frac{dF}{dx} = f(x) \]
2. 推导过程
我们可以通过极限定义来推导这个结论，考虑积分 \( F(x) \) 的增量：
\[ \Delta F = F(x + \Delta x) - F(x) = \int_{a}^{x + \Delta x} f(t) \, dt - \int_{a}^{x} f(t) \, dt \]
通过改变积分限，可以将上式改写为：
\[ \Delta F = \int_{a}^{x + \Delta x} f(t) \, dt - \int_{a}^{x} f(t) \, dt = \int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \, dt \]
现在应用积分中值定理，存在一个 \(\xi \in (x, x + \Delta x)\)，使得：
\[ \Delta F = f(\xi) \cdot \Delta x \]
当 \(\Delta x \to 0\) 时，\(\xi \to x\)，
\[ \frac{dF}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} = \lim_{\xi \to x} f(\xi) = f(x) \]
示例与应用
示例 1：简单函数
考虑函数 \( f(t) = t^2 \)，求 \( F(x) = \int_{0}^{x} t^2 \, dt \) 的导数。
首先计算积分：
\[ F(x) = \int_{0}^{x} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{x^3}{3} \]
然后求导数：
\[ \frac{dF}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^2 \]
这与直接应用勒贝格微分定理的结果一致。
示例 2：复合函数
考虑函数 \( g(x) = \sin(x^2) \)，求 \( G(x) = \int_{0}^{g(x)} e^{-t^2} \, dt \) 的导数。
首先注意到 \( g(x) = \sin(x^2) \)，
\[ G(x) = \int_{0}^{\sin(x^2)} e^{-t^2} \, dt \]
应用链式法则和勒贝格微分定理：
\[ \frac{dG}{dx} = e^{-[\sin(x^2)]^2} \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = e^{-[\sin(x^2)]^2} \cdot 2x \cos(x^2) \]
相关问答FAQs
问题1：为什么勒贝格微分定理只适用于变上限积分？
答：勒贝格微分定理之所以只适用于变上限积分，是因为我们需要保证积分上限是变量，这样才能通过求导将积分转化为被积函数的形式，如果积分上限是常数，那么积分结果是一个常数，其导数为零，无法得到被积函数的信息。
问题2：如何求复合函数的定积分导数？
答：求复合函数的定积分导数时，需要结合链式法则和勒贝格微分定理，首先对积分上限求导，然后将结果乘以被积函数在上限处的值，对于 \( G(x) = \int_{a}^{g(x)} f(t) \, dt \)，其导数为：
\[ \frac{dG}{dx} = f(g(x)) \cdot g'(x) \]
小编有话说
定积分的求导是微积分学中的一个重要工具，它在解决实际问题时非常有用，通过掌握勒贝格微分定理及其应用，我们可以更好地理解和运用微积分的知识，解决更复杂的数学问题，希望今天的分享能帮助大家更好地理解定积分的求导过程，如果有任何疑问或需要进一步的解释，欢迎留言讨论！
