认识方程 - 思维导图
中心主题：认识方程
一级分支 1：什么是方程？
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1 定义
- 核心要素： 含有未知数的等式。
- 关键点：
- 必须是等式： 用“=”连接，表示两边相等。
- 必须含有未知数： 通常用字母 (如 x, y, z) 表示，是需要我们求解的量。
- 举例：
3x + 2 = 8(是方程)；3x + 2 > 8(不是方程，是不等式)；3 + 2 = 5(不是方程，没有未知数)。
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2 方程的组成部分
- 未知数: 方程中需要求解的字母，在
2y - 5 = 1中，y是未知数。 - 已知数: 方程中已经给出的数字，在
2y - 5 = 1中，2,5,1是已知数。 - 等号: 连接左右两边，表示相等关系。
- 左边/右边: 等号左边的式子称为左边，右边的式子称为右边。
- 未知数: 方程中需要求解的字母，在
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3 方程与等式、代数式的关系
- 代数式： 由数和表示数的字母经加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子。不含等号。
3x + 2,a² - b
- 等式： 用等号表示相等关系的式子。可以不含未知数。
3 + 2 = 5(恒等式)，3x + 2 = 8(方程)
- 关系： 方程一定是等式，但等式不一定是方程。 方程是特殊的等式。
- 代数式： 由数和表示数的字母经加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子。不含等号。
一级分支 2：方程的解
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1 定义
- 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 举例： 对于方程
x + 3 = 5，当x = 2时，左边2 + 3 = 5，右边5，两边相等。x = 2是这个方程的解。
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2 解方程
- 定义： 求出方程的解的过程。
- 目标： 将方程变形为
x = a的形式。
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3 解的检验
- 方法： 将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等。
- 目的： 验证答案的正确性。
- 举例： 解
2x - 1 = 5得x = 3，检验：左边2*3 - 1 = 5，右边5，左边=右边，x=3是正确的解。
一级分支 3：方程的分类
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1 按未知数的个数
- 一元方程： 只含有一个未知数的方程。
4x - 7 = 5,x² + 2x - 3 = 0
- 二元方程： 含有两个未知数的方程。
x + y = 10,2x - 3y = 1
- 多元方程： 含有三个或更多未知数的方程。
- 一元方程： 只含有一个未知数的方程。
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2 按未知数的最高次数
- 一次方程 (线性方程)： 未知数的最高次数是 1。
3x + 2 = 8,y - 5 = 0
- 二次方程： 未知数的最高次数是 2。
x² - 4 = 0,2y² + 3y - 1 = 0
- 高次方程： 未知数的最高次数大于 2。
x³ - 8 = 0
- 一次方程 (线性方程)： 未知数的最高次数是 1。
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3 综合分类 (最常见)
- 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的方程。
- 标准形式：
ax + b = 0(a ≠ 0) - 核心特征： 未知数
x的指数是 1。 - 举例：
5x - 11 = 0,2(x - 1) = 3x + 2
- 标准形式：
- 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的方程。
一级分支 4：一元一次方程的解法
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1 核心思想： 化归思想，将复杂的方程通过一系列变形，最终化为
x = a的最简形式。 -
2 解题步骤
- 去分母： 方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。
- 目的： 将分式方程化为整式方程。
- 注意： 不要漏乘不含分母的项。
- 去括号： 运用乘法分配律，去掉方程中的括号。
- 注意： 括号前是负号，去掉括号后，括号内各项要变号。
- 移项： 将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。
- 法则： 移项要变号。
- 目的： 合并同类项做准备。
- 合并同类项： 将方程两边的同类项分别合并，化为
ax = b的形式。 - 系数化为 1： 方程两边同时除以未知数的系数
a。- 法则： 左右两边同时进行，同除（或乘）一个不为零的数，等式仍成立。
- 目的： 得到
x = ?的最终解。
- 去分母： 方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。
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3 关键原则
- 等式性质 1： 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍相等。
- 应用： 移项。
- 等式性质 2： 等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，结果仍相等。
- 应用： 去分母、系数化为 1。
- 等式性质 1： 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍相等。
一级分支 5：方程的应用
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1 核心价值： 方程是解决实际问题的强大数学工具。
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2 解应用题的步骤
- 审题： 读懂题意，理解题目中的数量关系。
- 设未知数： 用字母表示题目中的一个未知量，通常问什么设什么。
- 列等量关系： 根据题目中的关键语句（如“是”、“等于”、“比...多”、“比...少”）找到等量关系。
- 列方程： 将等量关系中的量用含未知数的代数式表示，列出方程。
- 解方程： 求出未知数的值。
- 作答： 检验答案是否符合题意，并写出完整的答案。
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3 常见应用模型
- 和差倍分问题： 几个量的和、差、倍、分关系。
一个数比另一个数的 2 倍少 3，它们的和是 15，求这两个数。
- 行程问题： 路程 = 速度 × 时间。
类型：相遇问题、追及问题。
- 工程问题： 工作量 = 工作效率 × 工作时间。
通常将总工作量看作“1”。
- 浓度问题： 溶质 = 溶液 × 浓度。
- 数字问题： 数的表示方法（如两位数
= 十位数字×10 + 个位数字）。 - 几何问题： 利用周长、面积、体积等公式。
- 和差倍分问题： 几个量的和、差、倍、分关系。
一级分支 6：相关概念辨析
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1 方程 vs. 不等式
- 方程： 用 连接，表示相等关系。
- 不等式： 用
>,<, , , 连接，表示不相等关系。
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2 方程 vs. 函数
- 方程： 是一个静态的等式，目标是求解未知数的特定值。
- 函数： 描述的是一个动态的对应关系，一个自变量
x对应唯一的因变量y。 - 联系： 函数
y = f(x)中，令y = 0，得到的方程f(x) = 0的解，就是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
