初三数学上册 - 《圆》思维导图
中心主题：圆
圆的基本概念
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定义
- 静态定义: 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所经过的封闭曲线叫做 圆。
- 动态定义: 到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。
- 相关要素:
- 圆心: 决定圆的位置。
- 半径: 决定圆的大小，连接圆心和圆上任意一点的线段。
- 直径: 连接圆上两点，且经过圆心的线段，是半径的 2 倍 (d = 2r)。
- 弦: 连接圆上任意两点的线段，直径是特殊的弦。
- 弧: 圆上任意两点间的部分曲线。
- 优弧: 大于半圆的弧。
- 劣弧: 小于半圆的弧。
- 半圆: 直径所对的弧。
- 弦心距: 圆心到弦的距离。
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点与圆的位置关系
- 设点 P 到圆心 O 的距离为 d，圆的半径为 r。
- 点在圆内: d < r
- 点在圆上: d = r
- 点在圆外: d > r
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直线与圆的位置关系
- 设直线 l 到圆心 O 的距离为 d，圆的半径为 r。
- 相离: d > r (无交点)
- 相切: d = r (有 1 个交点，即切点)
- 相交: d < r (有 2 个交点)
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圆与圆的位置关系
- 设两圆半径分别为 R 和 r (R ≥ r)，圆心距为 d。
- 外离: d > R + r (无交点)
- 外切: d = R + r (有 1 个交点)
- 相交: R - r < d < R + r (有 2 个交点)
- 内切: d = R - r (有 1 个交点)
- 内含: d < R - r (无交点)
- 同心圆: d = 0 (特殊的内含)
圆的基本性质
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对称性
- 轴对称: 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
- 中心对称: 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
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垂径定理及其推论
- 定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 推论 (5 个要素, 知 2 证 3):
- 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
- 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
- 核心: 在“直径”、“垂直”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”这五个要素中，任意知道其中两个（其中一个是直径或垂直，则另一个可以是任意一个），就可以推出其他三个。
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
- 定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
- 推论: 在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
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圆周角定理及其推论
- 定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
- 推论 2: 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
- 推论 3: 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
与圆有关的角
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圆心角
- 定义: 顶点在圆心的角。
- 性质: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
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圆周角
- 定义: 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
- 性质: 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
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圆内角
- 定义: 顶点在圆内的角。
- 性质: 等于它所对的弧与它的对顶角所对的弧的度数和的一半。
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圆外角
- 定义: 顶点在圆外，两边都与圆相交的角。
- 性质: 等于它所夹的两条弧的度数差的一半。
点、直线、圆与圆的位置关系应用
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切线的性质与判定
- 性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。
- 判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
- 推论: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
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切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
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三角形的内切圆
- 定义: 与三角形的三边都相切的圆。
- 内心: 三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点。
- 性质: 内心到三边的距离相等。
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与圆有关的比例线段 (相交弦定理、切割线定理)
- 相交弦定理: 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 (PA · PB = PC · PD)
- 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 (PT² = PA · PB)
- 割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 (PA · PB = PC · PD)
正多边形与圆
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定义
- 正多边形: 各边相等，各角也相等的多边形。
- 关系: 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
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有关计算
- 设正 n 边形的中心角为 α，半径为 R，边长为 aₙ，边心距为 rₙ，周长为 Pₙ，面积为 Sₙ。
- 中心角: α = 360° / n
- 边长: aₙ = 2R · sin(180° / n)
- 边心距: rₙ = R · cos(180° / n)
- 周长: Pₙ = n · aₙ
- 面积: Sₙ = (1/2) · Pₙ · rₙ = (1/2) · n · R² · sin(360° / n)
弧长和扇形面积
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弧长公式
- 公式: l = (n / 360°) · 2πr = (n / 180°) · πr
n 是圆心角的度数，r 是半径。
- 公式: l = (n / 360°) · 2πr = (n / 180°) · πr
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扇形面积公式
- 公式一: S = (n / 360°) · πr²
- 公式二: S = (1/2)lr
l 是扇形的弧长。
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圆锥的侧面积和全面积
- 相关概念:
- 母线 (l): 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线。
- 底面半径 (r): 圆锥底面圆的半径。
- 高 (h): 圆锥顶点到底面圆心的距离，满足 l² = h² + r²。
- 侧面积: S_侧 = πrl
- 全面积: S_全 = S_侧 + S_底 = πrl + πr² = πr(l + r)
- 相关概念:
学习方法与常见题型
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学习方法
- 数形结合: 圆是几何图形，计算和证明都要结合图形，利用其对称性。
- 定理联系: 理解各定理之间的联系（如垂径定理与圆的对称性，圆周角定理与圆心角的关系）。
- 分类讨论: 在解决位置关系问题时，注意分类讨论（如点与圆、直线与圆、圆与圆）。
- 辅助线: 掌握常见辅助线的作法，如“遇直径想直角”、“遇切线连半径”、“遇弦心距想垂径定理”。
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常见题型
- 计算题:
- 利用垂径定理求弦长、半径、弦心距。
- 利用圆周角定理求角度。
- 求弧长、扇形面积、弓形面积。
- 求圆锥的侧面积和全面积。
- 证明题:
- 证明线段相等、角相等、垂直关系。
- 证明直线是圆的切线（两种方法：连半径证垂直；作垂直证半径）。
- 利用切线长定理证明线段相等或角相等。
- 综合题:
- 圆与函数、方程、三角形等知识的结合。
- 动点问题：点在圆上或圆上运动，探究图形的面积、周长等变化规律。
- 实际应用题：涉及圆锥、圆台等物体的计算。
- 计算题:
