题目：巧数正方形
描述：** 下图中，一共有多少个正方形？
解题思路
这道题最容易出现错误的地方是“只数大的，漏了小的”或者“只数小的，忘了大的”，为了做到不重不漏，我们需要使用一种非常重要的数学思想：分类讨论。
核心思想： 我们可以根据正方形的大小，将所有正方形分成几类，然后分别计算每一类有多少个，最后把所有类别的数量加起来，就是总数了。
如何分类？ 在这个由小正方形组成的网格中，正方形的大小是不同的，我们可以按照正方形的“边长”来分类。
- 第一类：边长为1个单位的小正方形。
- 第二类：边长为2个单位的正方形。
- 第三类：边长为3个单位的正方形。
（因为整个大网格是4x4的，所以边长最大的正方形就是边长为4个单位的，我们也要把它算上。）
- 第四类：边长为4个单位的大正方形。
详细解题步骤
第一步：数边长为1个单位的正方形
这是最简单的一类,我们只需要数一数图中有多少个最小的、由1条横线和1条竖线围成的小正方形。
- 在每一行中,有4个。
- 一共有4行。
- 数量为：
4 × 4 = 16个。
第二步：数边长为2个单位的正方形
这类正方形是由 2×2 的小正方形组成的，我们换个角度想，要找到一个 2×2 的正方形，我们只需要找到它的左上角的位置。
- 我们可以从最上面一行开始找,第一行作为
2×2正方形的顶边，它的左上角可以放在第1列、第2列或第3列（不能放在第4列，因为右边不够空间了），第一行有 3 个。 - 同理,第二行作为顶边，也有 3 个。
- 第三行作为顶边,也有 3 个。
- 第四行作为顶边,不行，因为下面不够空间了。
- 数量为：
3 × 3 = 9个。
（小提示：在一个 M×N 的网格中，边长为 K 的正方形数量是 (M-K+1) × (N-K+1) 个。）
第三步：数边长为3个单位的正方形
这类正方形是由 3×3 的小正方形组成的，同样，我们通过找它的左上角来数。
- 我们来看
3×3的正方形，它的顶边可以从第一行或第二行开始。- 如果顶边是第一行,左上角可以放在第1列或第2列（不能放在第3、4列，右边空间不够），所以有 2 个。
- 如果顶边是第二行,左上角也可以放在第1列或第2列，所以也有 2 个。
- 顶边不能是第三行或第四行,因为下面空间不够。
- 数量为：
2 × 2 = 4个。
第四步：数边长为4个单位的正方形
这是最大的正方形,也就是整个图形本身。
- 它的左上角只能在最左上角的位置（第1行，第1列）。
- 数量为：
1 × 1 = 1个。
第五步：求总数
我们把所有类别的数量加起来,就得到了最终答案。
- 总数 = (边长为1的数量) + (边长为2的数量) + (边长为3的数量) + (边长为4的数量)
- 总数 =
16 + 9 + 4 + 1 - 总数 =
30
这个图形中一共有 30 个正方形。
解题小技巧： 遇到这种“数图形”的问题，特别是正方形、长方形、三角形时，“分类讨论” 是一个非常有效的方法，关键在于找到分类的标准（比如按大小、按方向等），然后确保在每一类中都数完整，最后再合并起来，就能做到准确无误。
希望这道题和它的解法能帮助你更好地理解奥数中的思维方法！
