“分成思维题”并不是一个严格的学术分类，但它精准地描述了一类在编程面试和算法竞赛中非常常见的题型，这类题目的核心在于如何将一个大问题，通过某种“分而治之”或“分类讨论”的策略，拆解成若干个更小、更简单、或者更特殊的问题，然后逐一解决，最后将结果合并。

这种思维方式是算法设计的基石之一,也是衡量一个程序员解决问题能力的重要标准。

什么是“分成思维”？

“分成思维”的本质是化繁为简，当面对一个复杂、模糊、或者规模巨大的问题时，直接求解往往无从下手，这时，我们可以尝试从以下几个角度切入，将问题“分成”几部分：

1. 数据结构拆分：将复杂的数据结构（如树、图、链表）拆解成更小的单元（节点、子树、连通分量）。
2. 问题规模拆分：将大规模问题拆解成小规模问题，通过递归或迭代解决，例如分治算法。
3. 状态/情况拆分：将问题的所有可能情况分成几类，分别处理，例如动态规划中的状态转移、贪心算法中的选择策略。
4. 维度拆分：将多维问题拆解成一维问题，例如将二维平面上的问题拆分成X轴和Y轴两个方向来处理。

“分成思维”的几种经典模式

下面我们通过具体的题型和例子来理解“分成思维”的应用。

分治

核心思想：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题，递归地解决这些子问题，然后将子问题的解合并，得到原问题的解。

经典题型：

1. 归并排序

   • 分成：将一个数组从中间分成左右两个子数组。

   • 解决：递归地对左右两个子数组进行排序。

   • 合并：将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。

   • 代码体现：

     def merge_sort(arr):
         if len(arr) <= 1:
             return arr
         mid = len(arr) // 2
         left = merge_sort(arr[:mid]) # 分
         right = merge_sort(arr[mid:]) # 分
         return merge(left, right)    # 合
     def merge(left, right):
         # ... 合并两个有序列表 ...
         return merged_list

2. 快速排序

   • 分成：选择一个“基准”（pivot），将数组分成两部分，左边都小于基准，右边都大于基准。

   • 解决：递归地对左右两部分进行快速排序。

   • 合并：快速排序的“合并”是隐式的，因为分区操作已经将元素放到了正确的位置。

   • 代码体现：

     def quick_sort(arr, low, high):
         if low < high:
             pi = partition(arr, low, high) # 分区
             quick_sort(arr, low, pi - 1)   # 解决左半部分
             quick_sort(arr, pi + 1, high)  # 解决右半部分
     def partition(arr, low, high):
         # ... 选择pivot并分区 ...
         return pivot_index

3. 大数乘法

   • 问题：计算两个非常大的整数（超出基本数据类型范围）的乘积。
   • 分成：使用类似“小学竖式”的思路，将 X * Y 拆分成 (A*10ⁿ + B) * (C*10ⁿ + D) = AC*10²ⁿ + (AD+BC)*10ⁿ + BD，通过递归计算 AC, AD, BC, BD 这四个小乘法。
   • 解决：递归计算这四个子问题。
   • 合并：将四个子问题的结果按照上述公式进行组合。

分类讨论

核心思想：当问题的答案依赖于某些条件或状态时，我们可以将所有可能的情况分成几类，分别处理每一类，最后综合所有情况得到最终答案。

经典题型：

1. 二叉树遍历

   • 问题：遍历二叉树。
   • 分成：根据访问根节点的时机，分成三种情况：
     • 前序遍历：根 -> 左 -> 右
     • 中序遍历：左 -> 根 -> 右
     • 后序遍历：左 -> 右 -> 根
   • 解决：对每一种情况，都遵循“访问当前节点 -> 递归左子树 -> 递归右子树”或“递归左子树 -> 访问当前节点 -> 递归右子树”的模式。
   • 代码体现：

     # 前序遍历
     def preorder_traversal(root):
         if not root:
             return []
         # 分成：根节点 和 左右子树
         return [root.val] + preorder_traversal(root.left) + preorder_traversal(root.right)

2. 路径和问题 (如 LeetCode 112. 路径总和)

   • 问题：判断从根节点到叶子节点的路径上，节点值之和是否等于目标和。

   • 分成：路径可以走向左孩子，也可以走向右孩子，这是一个典型的“或”关系。

   • 解决：路径总和等于 targetSum 当且仅当 (左子树存在路径和为 targetSum - root.val) 或者 (右子树存在路径和为 targetSum - root.val)。

   • 代码体现：

     def hasPathSum(root, targetSum):
         if not root:
             return False
         # 如果是叶子节点，判断剩余的值是否等于节点值
         if not root.left and not root.right:
             return targetSum == root.val
         # 分类讨论：走左子树或走右子树
         return hasPathSum(root.left, targetSum - root.val) or hasPathSum(root.right, targetSum - root.val)

3. 动态规划中的状态转移

   • 问题：爬楼梯，每次可以爬1或2个台阶，问n阶楼梯有多少种爬法。
   • 分成：对于第n阶楼梯，你只能从第 n-1 阶爬1步上来，或者从第 n-2 阶爬2步上来，这是两种到达第n阶的“最后一步”的情况。
   • 解决：dp[n] 的值就等于这两种情况之和，即 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。
   • 代码体现：

     def climbStairs(n):
         if n <= 2:
             return n
         dp = [0] * (n + 1)
         dp[1] = 1
         dp[2] = 2
         for i in range(3, n + 1):
             # 分成：最后一步是1步还是2步
             dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
         return dp[n]

数据结构拆解

核心思想：利用特定数据结构的特点，将问题中的元素或操作进行“分类”或“分组”，从而高效地解决问题。

经典题型：

1. 前K个高频元素

   • 问题：找出数组中出现频率最高的前K个元素。

   • 分成：如何“分组”？我们可以用哈希表（字典）来分组，键是元素，值是该元素出现的频率。

   • 解决：

     1. 遍历数组,用哈希表统计频率，完成“分组”。
     2. 问题变成了从频率值中找出前K大的,这可以通过堆（优先队列）来解决，构建一个大小为K的小顶堆，遍历频率数组，维护堆中的元素。

   • 代码体现：

     import heapq
     from collections import Counter
     def topKFrequent(nums, k):
         # 1. 分组：用Counter统计频率
         count = Counter(nums)
         # 2. 解决：用堆找出前K大
         # 使用小顶堆，堆中存放的是 (频率, 元素) 的元组
         heap = []
         for num, freq in count.items():
             heapq.heappush(heap, (freq, num))
             if len(heap) > k:
                 heapq.heappop(heap) # 弹出频率最小的
         # 3. 合并/提取结果
         return [num for (freq, num) in heap]

2. 二叉树的层序遍历

   • 问题：按层从上到下，从左到右遍历二叉树。

   • 分成：如何“分层”？使用队列数据结构，天然适合处理“层”的概念。

   • 解决：

     1. 将根节点放入队列。
     2. 当队列不为空时,循环处理： a. 记录当前队列的长度 level_size，这代表了当前层的节点数。 b. 循环 level_size 次，从队列中取出一个节点，处理它，并将其左右子节点（下一层）加入队列。 c. 将当前层的节点值存入一个临时列表。
     3. 将每一层的临时列表加入最终结果。

   • 代码体现：

     from collections import deque
     def levelOrder(root):
         if not root:
             return []
         result = []
         queue = deque([root])
         while queue:
             level_size = len(queue)
             current_level = []
             for _ in range(level_size):
                 node = queue.popleft()
                 current_level.append(node.val)
                 if node.left:
                     queue.append(node.left)
                 if node.right:
                     queue.append(node.right)
             result.append(current_level)
         return result

如何培养“分成思维”？

1. 识别问题规模：如果输入规模 n 很大，递归或迭代（分治）往往是突破口。
2. 寻找重复子结构：如果问题可以被分解成与原问题相似但规模更小的子问题，那么分治或动态规划是可行的。
3. 分析依赖关系：如果问题的下一步决策依赖于当前的状态（比如剩余容量、当前位置），那么分类讨论（DP、贪心）可能是方向。
4. 观察数据特点：如果问题涉及频率、排序、分组等，思考哈希表、堆、排序等数据结构能否帮你“分成”不同的类别。
5. 从简单例子入手：手动用几个小的输入数据走一遍流程，观察中间状态是如何变化的，这能帮助你发现“分成”的规律。

“分成思维”是一种强大的通用解题框架，它不仅仅适用于算法题，也广泛应用于系统设计、项目管理等复杂场景，在解决编程问题时，当你感到无从下手时，不妨先问自己一个问题：“我能把这个大问题拆成几个小问题来吗？” 这个问题往往是开启思路的钥匙。