二次函数思维导图
中心主题：二次函数
核心概念
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定义
- 形如
y = ax² + bx + c(a, b, c是常数，且 a ≠ 0) 的函数。 - 核心要素：最高次项必须是二次项 (
x²)，且二次项系数a不为零。 - 特例：
y = ax²(b=0, c=0)y = ax² + c(b=0)y = ax² + bx(c=0)
- 形如
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与一元二次方程的关系
- 求交点：令
y = 0，解方程ax² + bx + c = 0。- Δ > 0`：有两个不同的实数根 -> 抛物线与x轴有两个交点。
- Δ = 0`：有两个相等的实数根 -> 抛物线与x轴有一个交点（顶点）。
- Δ < 0`：无实数根 -> 抛物线与x轴无交点。
- 求根公式：
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
- 求交点：令
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与一元二次不等式的关系
- 求解：将不等式转化为
y > 0或y < 0的问题,通过观察抛物线在x轴上方或下方的部分来求解x的取值范围。
- 求解：将不等式转化为
图像与性质
-
基本图像：抛物线
- 形状：一条轴对称的曲线。
- 开口方向：
- a > 0`：开口向上。
- a < 0`：开口向下。
- 对称轴：直线
x = -b / 2a。 - 顶点：抛物线的最低点（a>0）或最高点（a<0）。
- 坐标：
(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)或(-b / 2a, f(-b / 2a))。
- 坐标：
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关键参数与性质
- 顶点坐标 (h, k)
- 作用：确定抛物线的最高/最低位置和对称轴。
- 顶点式：
y = a(x - h)² + k。
- 与y轴交点
- 求法：令
x = 0，则y = c。 - 坐标：
(0, c)。
- 求法：令
- 与x轴交点 (x₁, 0), (x₂, 0)
- 求法：解方程
ax² + bx + c = 0。 - 与系数关系：
x₁ + x₂ = -b/a，x₁ * x₂ = c/a。
- 求法：解方程
- 增减性
- a > 0`：
- 当
x < -b/2a时,y随x的增大而减小。 - 当
x > -b/2a时,y随x的增大而增大。
- 当
- a < 0`：
- 当
x < -b/2a时,y随x的增大而增大。 - 当
x > -b/2a时,y随x的增大而减小。
- 当
- a > 0`：
- 最值
- a > 0`：有最小值，最小值为顶点的纵坐标
k(或(4ac - b²) / 4a)。 - a < 0`：有最大值，最大值为顶点的纵坐标
k(或(4ac - b²) / 4a)。
- a > 0`：有最小值，最小值为顶点的纵坐标
- 顶点坐标 (h, k)
三种解析式
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一般式：
y = ax² + bx + c- 适用场景：已知抛物线上任意三个点的坐标。
- 优点：形式标准,便于计算与y轴交点和判别式。
- 缺点：不易直接看出顶点、对称轴和开口方向。
-
顶点式：
y = a(x - h)² + k- 适用场景：已知顶点坐标和另一个点的坐标。
- 优点：能直接看出顶点、对称轴和开口方向,便于求最值。
- 缺点：需要先化为一般式才能求与y轴交点等。
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交点式：
y = a(x - x₁)(x - x₂)- 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标
(x₁, 0)和(x₂, 0)。 - 优点：能直接看出与x轴的交点和对称轴 (
x = (x₁+x₂)/2)。 - 缺点：需要知道两个交点,且无法直接看出顶点和与y轴交点。
- 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标
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三种形式的相互转化
- 一般式 ↔ 顶点式：通过配方法。
- 一般式 ↔ 交点式：通过因式分解法或求根公式法。
- 顶点式 ↔ 交点式：先展开为一般式,再进行转化。
图像变换
- 核心：所有变换都是基于
y = ax²这个基础函数。
| 变换类型 | 解析式变化 | 图像变化 |
|---|---|---|
| 上下平移 | y = ax² + k |
k > 0 向上平移 k 个单位k < 0 向下平移 |k| 个单位 |
| 左右平移 | y = a(x - h)² |
h > 0 向右平移 h 个单位h < 0 向左平移 |h| 个单位 |
| 纵向伸缩 | y = ax² |
|a| > 1 开口变窄，纵向拉伸0 < |a| < 1 开口变宽，纵向压缩 |
| 横向伸缩 | y = a(bx)² |
|b| > 1 开口变窄，横向压缩0 < |b| < 1 开口变宽，横向拉伸 |
| 翻转变换 | y = -ax² |
关于x轴（或x轴）作轴对称图形 |
实际应用
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求最值问题
- 利润最大化：利润 = 收入 - 成本,常为二次函数。
- 面积最大化：用固定长度的篱笆围成矩形,求最大面积。
- 高度问题：物体被抛出后的高度h与时间t的关系。
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图像分析问题
- 解决一元二次方程/不等式。
- 解决实际问题中的变量关系，如路程、速度、时间关系。
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几何应用
与圆、三角形等几何图形结合，求面积、周长的最值。
学习方法与技巧
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数形结合
- 核心思想：将代数式（解析式）与几何图形（抛物线）紧密结合。
- 应用：通过图像理解性质（开口、顶点、交点）,通过性质画出草图。
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配方法
- 核心作用：将一般式化为顶点式,是理解和应用二次函数性质的关键工具。
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待定系数法
- 核心作用：根据已知条件（如三点、顶点+一点、两交点+一点）选择合适的解析式形式，列出方程组求解系数a, b, c, h, k。
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对称性
- 核心应用：利用抛物线的对称性简化计算，如已知一点坐标,可求其对称点坐标。
