章主要涵盖函数概念、定义域值域、函数表示法、函数单调性奇偶性

高中数学必修一第二章思维导图

函数的概念与性质

（一）函数的概念

1. 定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y = f(x)，x∈A，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
2. 函数的三要素：定义域、值域和对应关系。
3. 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对于定义域内的任意一个x，都有相同的对应关系（即相同的函数值），那么这两个函数就是相等函数。

（二）函数的表示方法

1. 解析式法：用数学表达式表示函数关系，如y = 2x + 1，优点是简洁明了，便于计算和研究函数性质；缺点是有些函数难以用解析式准确表达。
2. 列表法：通过列出自变量与函数值的对应表格来表示函数，某商店销售某种商品，其价格与销售量的关系如下表： |销售量（件）|1|2|3|4|5| |---|---|---|---|---|---| |价格（元）|10|9.5|9|8.5|8| 优点是直观，能直接看到自变量与函数值的对应；缺点是不能完整展示所有情况，且不便于分析函数性质。
3. 图象法：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，函数值y为纵坐标，描出点并连线形成函数图象，如一次函数y = kx + b的图象是一条直线，优点是形象直观，能直观反映函数的变化趋势、单调性、奇偶性等性质；缺点是不够精确，难以准确获取具体数值。

（三）函数的性质

1. 单调性
   • 定义：对于函数f(x)的定义域内的一个区间D，如果对于D内的任意两个自变量x₁、x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)（或f(x₁)＞f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数），如果函数在定义域内的某个区间上是增函数或减函数，那么就说这个函数在这个区间上具有单调性。
   • 判断方法：可以通过定义法，即比较f(x₁)与f(x₂)的大小；也可以利用导数来判断，若f'(x)＞0在区间内恒成立，则函数在该区间上单调递增，若f'(x)＜0在区间内恒成立，则函数在该区间上单调递减。
2. 奇偶性
   • 定义：设函数f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，如果函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，就称为非奇非偶函数。
   • 判断方法：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称则直接为非奇非偶函数；若对称，再计算f(-x)，看其与-f(x)或f(x)是否相等，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3. 最值：在函数定义域内，如果存在一个实数M，使得对于定义域内的任意x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么M就叫做函数f(x)的最大值（或最小值），求函数最值的方法有：①利用函数的单调性；②利用配方法（适用于二次函数等）；③利用不等式（如基本不等式等）；④利用导数等。

指数函数

（一）指数函数的概念

1. 定义：一般地，函数y = aˣ（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。
2. 底数a的意义：当a＞1时，指数函数是一个增函数；当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数。

（二）指数函数的图象与性质

1. 图象特点：指数函数y = aˣ的图象恒过定点（0,1），且在底数a＞1时，图象从左到右逐渐上升；在0＜a＜1时，图象从左到右逐渐下降。
2. 性质
   • 值域：指数函数的值域为（0，+∞）。
   • 单调性：如上述，a＞1时，函数在R上单调递增；0＜a＜1时，函数在R上单调递减。
   • 特殊值：a⁰ = 1（a＞0，且a≠1）。

（三）指数函数的应用

1. 指数增长模型：在实际生活中，如人口增长、细菌繁殖等现象可以用指数函数y = aˣ（a＞1）来描述，某种细菌在理想条件下，每经过一个周期数量会翻倍，假设初始数量为N₀，经过t个周期后的数量N可以表示为N = N₀×2ᵗ。
2. 指数衰减模型：放射性物质的衰变等可以用指数函数y = aˣ（0＜a＜1）来描述，某种放射性物质的半衰期为T，经过时间t后剩余质量m与初始质量m₀的关系为m = m₀×(1/2)^(t/T)。

对数函数

（一）对数函数的概念

1. 定义：一般地，函数y = logₐx（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，+∞）。
2. 对数的定义：如果aˣ = N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = logₐN。

（二）对数函数的图象与性质

1. 图象特点：对数函数y = logₐx的图象恒过定点（1,0），且在底数a＞1时，图象从左到右逐渐上升；在0＜a＜1时，图象从左到右逐渐下降。
2. 性质
   • 值域：对数函数的值域为R。
   • 单调性：a＞1时，函数在（0，+∞）上单调递增；0＜a＜1时，函数在（0，+∞）上单调递减。
   • 特殊值：logₐ1 = 0（a＞0，且a≠1）。

（三）对数函数与指数函数的关系

1. 互为反函数：指数函数y = aˣ和对数函数y = logₐx互为反函数，它们的图象关于直线y = x对称。
2. 转换关系：根据反函数的定义，若y = aˣ，则x = logₐy；若y = logₐx，则x = aʸ。

幂函数

（一）幂函数的概念

1. 定义：一般地，函数y = xᵃ（a为常数）叫做幂函数，幂函数的定义域取决于指数a的值，当a为正整数时，定义域为R；当a为负整数时，定义域为{x|x≠0}；当a为分数时，需要根据分数的情况确定定义域。

（二）幂函数的图象与性质

1. 图象特点：幂函数的图象形状多样，取决于指数a的值，当a = 1时，y = x的图象是一条直线；当a = 2时，y = x²的图象是开口向上的抛物线；当a = -1时，y = x⁻¹的图象是双曲线等。
2. 性质
   • 单调性：当a＞0时，幂函数在（0，+∞）上的单调性取决于a的大小，如a＞1时，函数在（0，+∞）上单调递增；0＜a＜1时，函数在（0，+∞）上单调递减，当a＜0时，幂函数在（0，+∞）上单调递减。
   • 奇偶性：当a为偶数时，幂函数是偶函数；当a为奇数时，幂函数是奇函数。

相关问题与解答

问题1：如何判断一个函数是否是指数函数？

解答：判断一个函数是否是指数函数，主要依据以下几点：函数的形式必须是y = aˣ（a＞0，且a≠1），这是指数函数的基本形式；自变量x必须在指数位置，且底数a是一个正常数且不等于1，函数y = 3ˣ是指数函数，而函数y = x³就不是指数函数，因为它不符合指数函数的形式，又如，函数y = (-2)ˣ不是指数函数，因为底数a必须大于0，只有同时满足这些条件，才能确定一个函数是指数函数。

问题2：对数函数与指数函数在实际应用中有哪些不同？

解答：对数函数和指数函数在实际应用中有许多不同之处，在增长或衰减模型方面，指数函数常用于描述数量呈指数增长或衰减的情况，如人口增长、细菌繁殖（增长模型）以及放射性物质衰变（衰减模型）等，在这些情况下，数量随时间的变化是以指数形式呈现的，而对数函数则更多地用于处理一些与对数运算相关的问题，比如在计算复利、测量声音强度（分贝）、pH值计算等场景中，在计算复利时，通过对数运算可以方便地计算出经过一定时间后的本息和；在测量声音强度时，由于声音强度与声压级的对数成正比，所以用对数函数来描述这种关系；在pH值计算中，也是利用对数函数来表示溶液酸碱度与氢离子浓度的关系。