函数思维导图涵盖函数定义、表示方法，如解析式等，包括函数性质，像单调性、奇偶性。

高一函数的思维导图

函数的概念

函数的表示方法

（一）解析式法

用数学表达式精准呈现函数关系，优点是简洁明了，便于计算与理论推导，如$y = 3x 1$，直接给出$x$与$y$的运算关系，能快速代入求值，研究函数单调性、奇偶性等性质。

（二）列表法

通过表格列举部分自变量与函数值对应情况，适用于定义域有限或离散的情况，比如统计某班级学生成绩与学号对应关系，能直观看到特定点函数值，但难以展现整体规律,不便于分析连续性等特性。

（三）图象法

在坐标系中描点绘图，直观展示函数动态变化，一眼看出单调性、最值、零点等，像二次函数$y = (x 1)^2 + 2$图像抛物线，开口向上，顶点坐标$(1, 2)$清晰可见,不过从图象精确获取数值需结合其他方法。

函数的性质

（一）单调性

1. 定义：对于函数$f(x)$定义域内某个区间，若任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) < f(x_2)$（或$f(x_1) > f(x_2)$），则$f(x)$在该区间单调递增（或递减），y = x^3$在$R$上单调递增，因为导数$y' = 3x^2 \geq 0$恒成立（仅在$x = 0$处导数为$0$，不影响单调性）。
2. 判断方法：
   • 定义法：作差比较$f(x_1) f(x_2)$与$0$大小，如证明$f(x) = x + \frac{1}{x}$在$[1, +\infty)$单调递增，任取$x_1 < x_2$，计算$f(x_1) f(x_2) = (x_1 + \frac{1}{x_1}) (x_2 + \frac{1}{x_2}) = (x_1 x_2) + (\frac{1}{x_1} \frac{1}{x_2}) = (x_1 x_2)\frac{x_1 x_2 1}{x_1 x_2}$，因$x_1, x_2 \in [1, +\infty)$且$x_1 < x_2$，可得$f(x_1) f(x_2) < 0$，即$f(x_1) < f(x_2)$,故单调递增。
   • 导数法：求导后看导数符号，若$f'(x) > 0$在某区间恒成立，则$f(x)$在该区间单调递增；$f'(x) < 0$则单调递减，如$y = \ln x$，导数$y' = \frac{1}{x}$，在$(0, +\infty)$上$y' > 0$，\ln x$在此区间单调递增。

（二）奇偶性

1. 定义：若函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则为偶函数，图像关于$y$轴对称，像$y = x^2$；若$f(-x) = -f(x)$，则为奇函数，图像关于原点对称，如$y = x^3$。
2. 判断步骤：先看定义域是否关于原点对称，若不对称则既不是奇函数也不是偶函数；若对称，再计算$f(-x)$与$-f(x)$、$f(x)$关系，如判断$f(x)=\frac{2^x 1}{2^x + 1}$奇偶性，定义域为$R$，计算$f(-x)=\frac{2^{-x} 1}{2^{-x} + 1} = \frac{\frac{1}{2^x} 1}{\frac{1}{2^x} + 1} = \frac{1 2^x}{1 + 2^x} = -\frac{2^x 1}{2^x + 1} = -f(x)$,所以是奇函数。

（三）周期性

1. 定义：存在非零常数$T$，使$f(x + T) = f(x)$对定义域内所有$x$都成立，则$T$为周期，最小正周期叫函数周期，如$y = \sin x$，$2\pi$是周期，图像每隔$2\pi$重复一次。
2. 求解方法：
   • 定义法：从$f(x + T) = f(x)$入手，化简方程求$T$，f(x)=\tan x$，由$\tan(x + \pi)=\tan x$，可知周期为$\pi$。
   • 利用周期函数性质：若$f(x)$周期为$T$，则$f(ax + b)$周期为$\frac{T}{|a|}$，如$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$，$\sin x$周期$2\pi$，此处$a = 2$，所以该函数周期为$\pi$。

（四）最值

1. 定义：函数在定义域内最大（小）的函数值，全局最大值、最小值是在整个定义域考量，局部最值是在某个区间内，如$y = x^2$在$R$上最小值是$0$，在区间$[1, 5]$上最小值是$1$。
2. 求法：
   • 配方法：适用于二次函数等，如$y = x^2 4x + 3 = (x 2)^2 1$，当$x = 2$时取最小值$-1$。
   • 导数法：求导找极值点，再对比端点值等确定最值，如$y = x^3 3x^2 + 2$，求导得$y' = 3x^2 6x$，令$y' = 0$解得$x = 0$或$x = 2$，再计算$f(0)=2$，$f(2)= -2$,结合极限趋势等判断最值。

常见函数类型

（一）一次函数

1. 一般形式：$y = kx + b(k \neq 0)$，图像是直线，斜率$k$决定倾斜方向与程度，截距$b$是直线与$y$轴交点纵坐标。
2. 性质：当$k > 0$时，函数单调递增；$k < 0$时单调递减。

（二）二次函数

1. 一般形式：$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$，图像是抛物线，开口方向由$a$决定，顶点坐标$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac b^2}{4a})$。
2. 性质：
   • 单调性：在$(-\infty, -\frac{b}{2a})$单调递减（若$a > 0$）或递增（若$a < 0$），在$(-\frac{b}{2a}, +\infty)$相反。
   • 最值：当$a > 0$时，在顶点处取最小值$\frac{4ac b^2}{4a}$；当$a < 0$时,在顶点处取最大值。

（三）指数函数

1. 一般形式：$y = a^x(a > 0且a \neq 1)$，当$a > 1$时，函数单调递增；当$0 < a < 1$时，函数单调递减，图像恒过定点$(0, 1)$。
2. 应用：常用于增长、衰减模型，如人口增长、放射性物质衰变等场景建模。

（四）对数函数

1. 一般形式：$y = \log_a x(a > 0且a \neq 1)$，是指数函数反函数，定义域$(0, +\infty)$，当$a > 1$时单调递增，当$0 < a < 1$时单调递减，图像恒过定点$(1, 0)$。
2. 应用：在计算复杂度分析、酸碱度测量等领域有广泛应用。

相关问题与解答

如何判断一个函数是否是周期函数？

解答：首先观察函数表达式或图像是否有周期性重复的大致特征，若定义域关于原点对称（对于三角函数等常见周期函数大多如此），尝试用定义法，假设存在周期$T$，将$x + T$代入函数表达式，看能否化简得到原函数形式，若能找到这样的非零常数$T$，则是周期函数，且最小正周期可通过进一步分析或利用周期函数性质确定；也可利用已知周期函数性质，若函数是经过简单变换如平移、伸缩等由已知周期函数得到,可根据相应规则推算周期。

已知函数奇偶性，对其图像有什么帮助？

解答：若函数是偶函数，图像关于$y$轴对称，只需画出一半（如右侧）图像，左侧可通过对称得出；若是奇函数，图像关于原点对称，同样只需画一半（如右侧），左侧通过绕原点旋转$180^\circ$得到，