数与代数 思维导图
中心主题：数与代数
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数的认识
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数的意义
- 自然数: 用来表示物体个数的数 (1, 2, 3, ...)，0 也是自然数。
- 整数: 包括正整数、0 和负整数 (... -2, -1, 0, 1, 2, ...)。
- 分数: 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
- 真分数: 分子 < 分母 (e.g., 1/2)。
- 假分数: 分子 ≥ 分母 (e.g., 5/3)。
- 带分数: 由整数部分和真分数部分组成 (e.g., 1 2/3)。
- 小数: 分母是10, 100, 1000...的分数的另一种表示形式。
- 有限小数: 小数部分位数有限 (e.g., 0.25)。
- 无限小数: 小数部分位数无限。
- 无限循环小数: 一个或几个数字依次不断重复出现 (e.g., 0.333..., 0.142857142857...)。
- 无限不循环小数: 数字排列没有规律 (e.g., π, √2)。
- 百分数: 表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比 (e.g., 25%)。
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数的范畴
- 有理数: 整数和分数的统称，可以表示为 p/q 的形式 (p, q 为整数，q≠0)。
包括：整数、有限小数、无限循环小数。
- 无理数: 不能表示为两个整数之比的实数。
包括：无限不循环小数、某些数的方根 (e.g., √2, √3)、特定常数 (e.g., π, e)。
（图片来源网络，侵删） - 实数: 有理数和无理数的统数,数轴上的每一个点都对应一个实数。
- 有理数: 整数和分数的统称，可以表示为 p/q 的形式 (p, q 为整数，q≠0)。
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数的运算
- 四则运算: 加(+)、减(-)、乘(×)、除(÷)。
- 运算法则: 交换律、结合律、分配律。
- 运算顺序: 先算乘除，后算加减；有括号先算括号里的。
- 乘方: 求n个相同因数积的运算 (aⁿ)。
- 开方: 平方根 (√a)、立方根 (³√a) 等。
- 运算的扩展:
- 整式运算: 合并同类项、去/添括号、幂的运算。
- 分式运算: 通分、约分。
- 根式运算: 分母有理化。
- 四则运算: 加(+)、减(-)、乘(×)、除(÷)。
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数的大小比较
- 数轴: 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 数轴三要素: 原点、正方向、单位长度。
- 数形结合: 数轴上的点与实数一一对应,右边的数总比左边的大。
- 比较方法:
- 正数 > 0 > 负数。
- 两个正数,绝对值大的就大。
- 两个负数,绝对值大的反而小。
- 数轴: 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
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数的整除性
- 因数/约数: a ÷ b = c (c为整数)，b 是 a 的因数。
- 倍数: a 是 b 的倍数，a = b × k (k为整数)。
- 质数/素数: 只有1和它本身两个因数的大于1的自然数 (e.g., 2, 3, 5, 7)。
- 合数: 除了1和它本身还有其他因数的大于1的自然数 (e.g., 4, 6, 8, 9)。
- 1: 既不是质数也不是合数。
- 分解质因数: 把一个合数写成几个质数相乘的形式。
- 最大公因数: 几个数公有的因数中最大的一个。
- 最小公倍数: 几个数公有的倍数中最小的一个。
式的认识与运算
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代数式
（图片来源网络，侵删）- 定义: 由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式。
- 分类:
- 单项式: 由数与字母的乘积组成的代数式 (e.g., -2x²y, a)。
- 系数: 单项式中的数字因数。
- 次数: 所有字母的指数和。
- 多项式: 几个单项式的和 (e.g., 2x² - 3x + 1)。
- 项: 多项式中的每个单项式。
- 常数项: 不含字母的项。
- 次数: 多项式中次数最高的项的次数。
- 整式: 单项式和多项式的统称。
- 分式: 分母中含有字母的式子 (e.g., 1/x, (x+1)/(x-2))。
- 根式: 含有根号的式子 (e.g., √(x+1), ³√a)。
- 单项式: 由数与字母的乘积组成的代数式 (e.g., -2x²y, a)。
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整式的运算
- 加减法: 合并同类项。
- 乘法:
- 幂的运算: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ。
- 单项式 × 单项式。
- 单项式 × 多项式 (分配律)。
- 多项式 × 多项式 (乘法公式)。
- 乘法公式:
- 平方差公式: (a + b)(a - b) = a² - b²
- 完全平方公式: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- 立方和/差公式: (a ± b)(a² ∓ ab + b²) = a³ ± b³
- 除法:
- 单项式 ÷ 单项式。
- 多项式 ÷ 单项式 (分配律)。
- 多项式 ÷ 多项式 (竖式除法/长除法)。
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因式分解
- 定义: 把一个多项式化为几个整式的积的形式。
- 方法:
- 提公因式法: am + bm = m(a + b)。
- 公式法: 平方差、完全平方。
- 十字相乘法: 用于二次三项式 (e.g., x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b))。
- 分组分解法。
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分式与根式的运算
- 分式:
- 基本性质: A/B = (A×M)/(B×M) = (A÷M)/(B÷M) (M≠0)。
- 约分与通分。
- 运算: 加减乘除,注意分母不能为0。
- 根式:
- 最简根式: 被开方数不含分母,且不含能开得尽方的因数或因式。
- 同类根式: 化成最简根式后被开方数相同的根式。
- 运算: 加减法 (合并同类根式)，乘除法 (利用 √a · √b = √(ab))。
- 分母有理化: 去掉根号内的分母。
- 分式:
方程与不等式
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方程
- 定义: 含有未知数的等式。
- 一元一次方程: 含有一个未知数，且未知数次数是1的方程 (ax + b = 0, a≠0)。
- 解法: 移项、合并同类项、系数化为1。
- 二元一次方程组: 由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。
- 解法:
- 代入消元法。
- 加减消元法。
- 解法:
- 一元二次方程: 含有一个未知数，且未知数最高次数是2的方程 (ax² + bx + c = 0, a≠0)。
- 解法:
- 直接开平方法。
- 配方法。
- 公式法: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。
- 因式分解法。
- 根的判别式 (Δ): Δ = b² - 4ac。
- Δ > 0 ⇔ 两个不相等的实数根。
- Δ = 0 ⇔ 两个相等的实数根。
- Δ < 0 ⇔ 无实数根。
- 根与系数的关系 (韦达定理): x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a。
- 解法:
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不等式
- 定义: 用不等号(>, <, ≥, ≤, ≠)连接的式子。
- 基本性质:
- 传递性。
- 不等式两边同加/减同一个数,不等号方向不变。
- 不等式两边同乘/除同一个正数,不等号方向不变。
- 不等式两边同乘/除同一个负数，不等号方向改变。
- 一元一次不等式: ax + b > 0 (或 <, ≥, ≤) (a≠0)。
- 解法: 类似于解一元一次方程,注意性质3和4。
- 一元一次不等式组:
- 解法: 分别求出每个不等式的解集，取其公共部分（数轴法是直观工具）。
函数
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函数的概念
- 定义: 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应,那么就说y是x的函数。
- 自变量: x。
- 因变量: y。
- 解析式: 用数学式子表示函数关系 (e.g., y = 2x + 1)。
- 函数图像: 用坐标系内的点、线、面来表示函数关系。
- 定义域: 自变量x的取值范围。
- 值域: 因变量y的取值范围。
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一次函数
- 正比例函数: y = kx (k≠0)。
- 图像: 过原点的直线。
- 性质: k>0，一、三象限，y随x增大而增大；k<0，二、四象限,y随x增大而减小。
- 一次函数: y = kx + b (k≠0, b≠0)。
- 图像: 直线。
- 性质: k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小，b决定直线与y轴的交点(0, b)。
- 正比例函数: y = kx (k≠0)。
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反比例函数
- 解析式: y = k/x (k≠0)。
- 图像: 双曲线。
- 性质: k>0，一、三象限；k<0，二、四象限，y随x的增大而减小（在每个象限内）。
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二次函数
- 解析式: y = ax² + bx + c (a≠0)。
- 图像: 抛物线。
- 性质:
- 开口方向: a>0向上，a<0向下。
- 对称轴: 直线 x = -b/(2a)。
- 顶点坐标: (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))。
- 最值: 顶点处的y值（a>0有最小值，a<0有最大值）。
应用与模型
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实际问题应用
- 行程问题: 路程、速度、时间的关系 (s = vt)。
- 工程问题: 工作量、工作效率、工作时间的关系 (W = P·t)。
- 利润问题: 成本、售价、利润、利润率的关系。
- 浓度问题: 溶质、溶剂、溶液的关系。
- 几何问题: 利用周长、面积、体积公式建立方程。
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数学建模思想
- 审题: 理解题意,找出等量关系或不等关系。
- 设元: 用未知数表示关键量。
- 列式: 根据关系列出方程、不等式或函数关系式。
- 求解: 解出未知数的值。
- 检验: 检验解是否符合题意和实际意义。
- 作答: 写出完整的答案。
