中心主题：面积
一级分支 1：核心概念
- 定义
- 物体表面或平面图形所占有平面的大小。
- 衡量二维图形所覆盖区域的一个量。
- 单位
- 国际标准单位：平方米 (m²)
- 常用单位及换算：
- 平方千米 (km²)
- 平方分米 (dm²)
- 平方厘米 (cm²)
- 平方毫米 (mm²)
- 换算关系：
- 1 km² = 1,000,000 m²
- 1 m² = 100 dm² = 10,000 cm² = 1,000,000 mm²
- 非国际单位：
- 公顷 (ha)：1 ha = 10,000 m² (常用于测量土地面积)
- 亩：1 亩 ≈ 666.67 m² (中国市制单位)
- 基本性质
- 可加性：几个图形不重叠地拼合在一起，总面积等于各部分面积之和。
- 可比性：可以用统一的面积单位来比较不同图形面积的大小。
- 守恒性：一个图形的形状改变，只要没有增减，其面积不变。
一级分支 2：平面图形的面积公式
- 基本图形
- 正方形
- 公式：S = a² (a为边长)
- 推导：边长 × 边长
- 长方形
- 公式：S = a × b (a为长，b为宽)
- 推导：长 × 宽
- 平行四边形
- 公式：S = a × h (a为底，h为高)
- 推导：通过“割补法”转化成长方形。
- 三角形
- 公式：S = (a × h) / 2 (a为底，h为高)
- 推导：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
- 梯形
- 公式：S = (a + b) × h / 2 (a为上底，b为下底，h为高)
- 推导：可以看作是两个不同大小的三角形组合，或通过“拼接法”转化成平行四边形。
- 正方形
- 圆形
- 圆
- 公式：S = πr² (r为半径)
- 推导：通过无限分割、拼成一个近似的长方形（圆周长的一半 × 半径）。
- 扇形
- 公式：S = (n/360) × πr² (n为圆心角度数)
- 推导：是整个圆面积的一部分，按比例计算。
- 圆
- 组合图形
- 定义：由几个简单的基本图形组合而成的图形。
- 计算方法：
- 分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别计算后相加。
- 添补法：用一个大图形减去一个或几个小图形的面积。
- 等积变形法：通过平移、旋转、割补等方式，将不规则图形转化为规则图形。
一级分支 3：立体图形的表面积
- 定义：立体所有面的面积总和。
- 公式
- 正方体
公式：S表 = 6a² (a为棱长)
（图片来源网络，侵删） - 长方体
公式：S表 = 2(ab + ah + bh) (a, b, c分别为长、宽、高)
- 圆柱体
- 公式：S表 = S侧 + 2S底 = 2πrh + 2πr² (r为底面半径，h为高)
- 侧面积展开是一个长方形（长=底面周长，宽=高）。
- 圆锥体
- 公式：S表 = S底 + S侧 = πr² + πrl (r为底面半径，l为母线长)
- 侧面展开是一个扇形。
- 正方体
一级分支 4：面积的应用
- 生活应用
- 装修：计算地面铺地砖、墙面刷涂料、天花板吊顶的面积。
- 农业：计算农田、果园的面积，计算播种量、施肥量。
- 建筑：计算占地面积、建筑面积。
- 土地交易：计算地块面积，作为交易和估价依据。
- 数学问题
- 求阴影部分面积：综合运用各种图形面积公式。
- 求最大/最小面积：在周长一定的情况下，求面积的最大值（如：圆）。
- 等积变换：通过面积相等来求解线段长度或其他未知量。
- 其他领域
- 物理：压强 = 压力 / 受力面积。
- 地理：计算地图上某个区域的实际面积。
- 计算机图形学：用于碰撞检测、纹理映射等。
一级分支 5：高级概念与拓展
- 微积分视角
- 定积分：函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分 ∫[a,b] f(x)dx，其几何意义就是曲线 y=f(x) 与 x 轴、直线 x=a、x=b 所围成的曲边梯形的面积。
- 这是解决不规则图形面积问题的终极数学工具。
- 非欧几何
在非欧几何（如球面几何）中，面积的概念和计算公式会发生根本性变化，球面上的“三角形”内角和大于180度，其面积公式也与平面三角形完全不同。
- 分形几何
一些分形图形具有“无限周长但有限面积”的奇特性质，如科赫雪花曲线。
（图片来源网络，侵删）
