中心主题：周长与面积
周长
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定义
（图片来源网络，侵删）- 围成一个封闭图形的所有线段的总长度。
- 关键词：线段、长度、边界。
- 比喻：给图形“围”一根彩带,彩带的长度就是周长。
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计算公式
- 正方形
- 公式：
C = 4a(a为边长) - 思考：4条相等的边相加。
- 公式：
- 长方形
- 公式：
C = 2(a + b)(a为长,b为宽) - 思考：2条长 + 2条宽。
- 公式：
- 三角形
- 公式：
C = a + b + c(a, b, c为三边长) - 思考：三条边相加。
- 公式：
- 圆形
- 公式：
C = πd或C = 2πr(d为直径, r为半径, π≈3.14) - 思考：圆的“一圈”长度。
- 公式：
- 其他不规则图形
- 方法：绳测法（用绳子绕图形一周，测量绳子长度）或分割法（将图形分割成若干基本图形再相加）。
- 正方形
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单位
- 长度单位,表示一条线的长短。
- 常用单位：千米、米、分米、厘米、毫米。
- 换算：1千米 = 1000米；1米 = 10分米 = 100厘米 = 1000毫米。
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实际应用
- 给花坛围栅栏。
- 给黑板镶边框。
- 跑道一圈的长度。
- 计算所需材料的长度（如电线、绳子）。
面积
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定义
（图片来源网络，侵删）- 物体表面或封闭图形所占据平面的大小。
- 关键词：表面、大小、空间。
- 比喻：给图形铺上地砖,地砖的总面积就是图形的面积。
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计算公式
- 正方形
- 公式：
S = a²(a为边长) - 思考：边长 × 边长。
- 公式：
- 长方形
- 公式：
S = ab(a为长,b为宽) - 思考：长 × 宽（核心公式，其他许多公式都源于此）。
- 公式：
- 三角形
- 公式：
S = ah / 2(a为底, h为高) - 思考：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形（或长方形）。
- 公式：
- 平行四边形
- 公式：
S = ah(a为底, h为高) - 思考：通过“割补法”可以将其变成长方形。
- 公式：
- 梯形
- 公式：
S = (a + b)h / 2(a为上底, b为下底, h为高) - 思考：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
- 公式：
- 圆形
- 公式：
S = πr²(r为半径) - 思考：通过无限分割可以近似拼成一个长方形。
- 公式：
- 组合图形
- 方法：分割法（将大图形分割成几个小图形）或添补法（用大图形减去多余的小图形）。
- 正方形
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单位
- 面积单位,表示一个面的大小。
- 常用单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
- 换算：1平方千米 = 100公顷；1公顷 = 10000平方米；1平方米 = 100平方分米 = 10000平方厘米。
- 进率规律：长度单位进率是10、100、1000...，面积单位进率是它们的平方（100、10000、1000000...）。
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实际应用
- 计算房间铺地板的面积。
- 计算粉刷墙壁的面积。
- 计算一块土地的面积。
- 计算窗户玻璃的大小。
周长与面积的联系与区别
| 对比维度 | 周长 | 面积 |
|---|---|---|
| 本质 | 图形边界的长度 | 图形内部的大小 |
| 单位 | 长度单位 (米, 厘米...) | 面积单位 (平方米, 平方厘米...) |
| 测量对象 | 一维的线 | 二维的面 |
| 关系 | 周长不变，面积不一定不变。 （长方形长8宽2，周长20，面积16； 长方形长7宽3，周长仍是20，面积变为21） |
面积不变，周长不一定不变。 （正方形边长4，周长16，面积16； 拉成极长的长方形，面积仍可接近16，但周长会变得非常大） |
| 核心思想 | 求和（将所有边的长度加起来） | 度量（用单位面积去度量图形包含多少个这样的单位） |
易错点与注意事项
- 单位混淆：计算周长忘写单位，或把面积单位写成长度单位（如写成“米”而不是“平方米”）。
- 公式记混：特别是正方形的周长（
4a）和面积（a²）,容易混淆。 - 概念不清：误以为周长越长，面积就越大，反之亦然，需要通过具体例子（如上面表格中的长方形）来理解它们没有必然的正比关系。
- 高与底的对应：在计算三角形、平行四边形、梯形面积时，高必须是与底边垂直对应的边。
- π的取值：题目未特别说明时，通常取π≈3.14进行计算，最后结果用π表示也可以（如
56π）。 - “平方”的遗漏：在面积单位的换算中，容易忘记将长度单位的进率进行平方（如1米=100厘米，1平方米=10000平方厘米）。
（图片来源网络，侵删）
