立体几何思维导图

中心主题：立体几何

一级分支一：空间几何体

• 1 多面体

  
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  • 1.1 棱柱
    • 定义：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体。
    • 分类：
      • 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱...
      • 按侧棱与底面关系：斜棱柱、直棱柱
      • 特殊棱柱：正方体、长方体（直平行六面体）
    • 性质：
      • 两个底面是全等的多边形。
      • 侧面是平行四边形（斜棱柱）或矩形（直棱柱）。
      • 侧棱平行且相等。
      • 平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
  • 1.2 棱锥
    • 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体。
    • 分类：按底面边数：三棱锥（即四面体）、四棱锥、五棱锥...
    • 性质：
      • 底面是多边形,侧面是三角形。
      • 各侧棱交于一点（顶点）。
      • 平行于底面的截面是与底面相似的多边形,其面积比等于相似比的平方。
    • 特殊棱锥：正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心）
  • 1.3 棱台
    • 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
    • 性质：
      • 两个底面是相似的多边形。
      • 侧面是梯形。
      • 侧棱的延长线交于一点。
    • 特殊棱台：正棱台（由正棱锥截得）

• 2 旋转体

  • 2.1 圆柱
    • 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体。
    • 组成：底面、侧面、轴、母线。
    • 性质：
      • 两底面是全等的圆,且两底面连心线（轴）垂直于底面。
      • 侧面展开图是矩形。
      • 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
  • 2.2 圆锥
    • 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体。
    • 组成：底面、侧面、顶点、轴、母线。
    • 性质：
      • 底面是圆,轴垂直于底面。
      • 侧面展开图是扇形。
      • 过顶点的截面是等腰三角形。
      • 平行于底面的截面是圆,其面积比等于相似比的平方。
  • 2.3 圆台
    • 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。
    • 组成：上底面、下底面、侧面、轴、母线。
    • 性质：
      • 两底面是平行的圆。
      • 侧面展开图是扇环。
      • 延长所有侧棱（母线）会交于一点（原圆锥的顶点）。
  • 2.4 球
    • 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面（球面）所围成的几何体。
    • 元素：球心、半径、直径。
    • 性质：
      • 截面是圆,截面圆的半径 r 与球心到截面的距离 d 满足 r² + d² = R² (R为球半径)。
      • 球面距离：球面上两点间的最短路径，即过这两点的大圆的劣弧长。
      • 体积公式：V = (4/3)πR³
      • 表面积公式：S = 4πR²

一级分支二：点、线、面位置关系

• 1 平面

  • 1.1 公理：
    • 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
    • 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
    • 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
  • 1.2 推论：
    • 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
    • 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
    • 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

• 2 空间中直线与直线的位置关系

  • 共面：
    • 相交：有且只有一个公共点。
    • 平行：在同一平面内，没有公共点。
  • 异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。（核心：既不相交也不平行）

• 3 空间中直线与平面的位置关系

  
  （图片来源网络，侵删）
  • 直线在平面内：有无数个公共点。
  • 直线与平面相交：有且只有一个公共点。
    • 垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直。
    • 斜交：直线与平面相交但不垂直。
  • 直线与平面平行：没有公共点。

• 4 空间中平面与平面的位置关系

  • 两平面平行：没有公共点。
  • 两平面相交：有一条公共直线（交线）。
    • 垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角。

一级分支三：平行与垂直的判定与性质

• 1 平行关系

  • 线线平行：
    • 判定：
      • 公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
      • 线面平行性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。
      • 面面平行性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
    • 性质：由判定定理的逆过程体现。
  • 线面平行：
    • 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
    • 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。
  • 面面平行：
    • 判定定理：
      • 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
      • 垂直于同一条直线的两个平面平行。
    • 性质定理：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

• 2 垂直关系

  • 线线垂直：
    • 判定：
      • 定义：所成的角为90°。
      • 线面垂直性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任意一条直线。
      • 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
      • 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
  • 线面垂直：
    • 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
    • 性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任意一条直线。
  • 面面垂直：
    • 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
    • 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

一级分支四：空间角与距离

• 1 空间角

  
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  • 1.1 异面直线所成角：
    • 定义：过空间任一点O，分别作两异面直线的平行线，所成的锐角（或直角）。
    • 范围：(0°, 90°]
  • 1.2 直线与平面所成角：
    • 定义：直线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角）。
    • 范围：[0°, 90°]
  • 1.3 二面角：
    • 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
    • 平面角：在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角。
    • 范围：[0°, 180°]

• 2 空间距离

  • 2.1 点到点的距离：两点间线段长度。
  • 2.2 点到线的距离：点到直线垂线段的长度。
  • 2.3 点到面的距离：点到平面垂线段的长度。
  • 2.4 异面直线间的距离：
    • 定义：两条异面直线的公垂线段的长度。
    • 方法：转化为线面距离或面面距离。
  • 2.5 线到面的距离：
    • 定义：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离。
  • 2.6 面到面的距离：
    • 定义：两个平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离。

一级分支五：空间向量与立体几何

• 1 空间向量及其运算

  • 线性运算：加减法、数乘。
  • 数量积（点积）：
    • a·b = |a||b|cosθ (θ为夹角)
    • 坐标运算：a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
    • 应用：证明垂直 (a·b=0)、求夹角 (cosθ = (a·b)/(|a||b|))。
  • 向量积（叉积）：
    • a×b 是一个向量，方向垂直于 a 和 b 所在平面，大小 |a×b| = |a||b|sinθ (θ为夹角)。
    • 应用：求法向量。

• 2 空间向量的坐标表示

  • 基底：不共面的三个向量 {i, j, k} 作为单位正交基底。
  • 坐标：空间中任意向量 p = xi + yj + zk，其坐标为 (x, y, z)。
  • 点的坐标：向量的终点坐标。

• 3 空间向量在立体几何中的应用

  • 证明平行：
    • 线线平行：方向向量共线 (a = λb)。
    • 线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直 (a·n = 0)。
    • 面面平行：两平面的法向量平行 (n₁ = λn₂)。
  • 证明垂直：
    • 线线垂直：方向向量点积为零 (a·b = 0)。
    • 线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行 (a = λn)。
    • 面面垂直：两平面的法向量点积为零 (n₁·n₂ = 0)。
  • 求角：
    • 异面直线所成角：cosθ = |a·b| / (|a||b|) (取绝对值，得到锐角)。
    • 线面角：sinθ = |a·n| / (|a||n|) (θ为线与法向量的夹角，线面角为其余角)。
    • 二面角：通过两个平面的法向量 n₁, n₂，cosφ = (n₁·n₂) / (|n₁||n₂|) (φ为法向量夹角，二面角可能为φ或π-φ)。
  • 求距离：
    • 点到面距离：d = |PA·n| / |n| (P为平面外一点，A为平面内一点，n为法向量)。
    • 线到面/面到面距离：转化为点到面距离。

一级分支六：空间直角坐标系

• 1 坐标系的建立：选择一个空间直角坐标系。
• 2 点的坐标：确定空间中任意一点的坐标 (x, y, z)。
• 3 向量的坐标：空间向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标。
• 4 应用：
  • 距离公式：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]
  • 中点坐标公式：M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)
  • 定比分点坐标公式
  • 与空间向量结合：完成所有向量和坐标相关的计算。

一级分支七：公式与定理汇总

• 1 表面积与体积
  • 柱体：S侧 = 底面周长 × 高，V = 底面积 × 高
  • 锥体：V = (1/3) × 底面积 × 高
  • 台体：V = (1/3)(S' + √(S'S) + S)h (S', S为上下底面积)
  • 球体：V = (4/3)πR³，S = 4πR²
• 2 侧面积与展开图
  • 圆柱：S侧 = 2πrh (展开为矩形)
  • 圆锥：S侧 = πrl (展开为扇形, l为母线长)
  • 圆台：S侧 = π(r₁+r₂)l (展开为扇环)
• 3 其他重要定理
  • 祖暅原理：幂势既同，则积不容异。（等面积（幂）的截面，在等高（势）处，体积相等）
  • 三垂线定理及其逆定理：见3.2节。

如何使用这份思维导图

1. 构建框架：先从中心主题出发，理解七个一级分支的逻辑关系。
2. 填充细节：在每个分支下，回忆并写下具体的定义、定理、公式和例子。
3. 建立联系：思考不同分支间的联系。“平行与垂直的判定”是“点线面位置关系”的应用；“空间向量”是解决“平行、垂直、角、距离”问题的强大工具。
4. 重点突破：标记出自己的薄弱环节，例如对“二面角”的理解或“三垂线定理”的应用，进行专项复习。
5. 实践检验：在做题时，尝试用思维导图中的知识点来分析问题，看看能否找到解题的思路和路径。

希望这份详细的思维导图能帮助你更好地学习立体几何！