这份导图旨在帮助你构建完整的知识体系，理清各个章节的逻辑关系，明确复习重点，它按照官方考试大纲的顺序，分为高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大部分。
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考研数学一 - 总览
- 核心目标: 理解概念、掌握方法、提升计算能力与解题技巧。
- 试卷结构:
- 高等数学 (约 56%)
- 线性代数 (约 22%)
- 概率论与数理统计 (约 22%)
- 题型与分值:
- 选择题 (8题, 每题4分, 共32分)
- 填空题 (6题, 每题4分, 共24分)
- 解答题 (9题, 共94分)
第一部分：高等数学
这是数一的重中之重，内容最多,难度也最高。
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第一章：函数、极限、连续
- 函数: 定义、特性 (有界性、单调性、奇偶性、周期性)、运算、性质。
- 极限:
- 定义: 数列极限、函数极限 (左/右极限)。
- 性质: 唯一性、有界性、保号性。
- 计算方法:
- 基本方法: 利用定义、四则运算法则。
- 重要技巧: 两个重要极限、等价无穷小替换、洛必达法则、夹逼准则、单调有界准则。
- 无穷小与无穷大: 概念、比较 (阶的判断)。
- 连续:
- 定义: 函数在某点连续、区间连续。
- 间断点: 分类 (第一类: 可去、跳跃; 第二类: 无穷、振荡)。
- 闭区间上连续函数的性质: 最值定理、介值定理、零点定理。
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第二章：一元函数微分学及其应用
- 导数与微分:
- 导数定义: 几何意义 (切线斜率)、物理意义 (瞬时速度)、左右导数。
- 求导法则: 四则运算、反函数、复合函数、隐函数、参数方程、高阶导数。
- 微分: 定义、几何意义、一阶微分形式不变性。
- 微分中值定理及应用:
- 中值定理: 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理。
- 应用:
- 洛必达法则 (深化)。
- 函数单调性判别。
- 函数极值与最值。
- 函数凹凸性与拐点。
- 函数图像的描绘 (渐近线)。
- 证明不等式、方程根的讨论。
- 导数与微分:
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第三章：一元函数积分学及其应用
（图片来源网络，侵删）- 不定积分:
- 概念: 原函数、不定积分。
- 计算方法: 第一/二类换元积分法、分部积分法、有理函数积分、三角有理式积分、简单无理函数积分。
- 定积分:
- 概念: 定义 (几何意义: 面积)、可积条件。
- 性质: 线性性、区间可加性、比较性质、积分中值定理。
- 计算: 牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法。
- 反常积分 (广义积分): 无穷限积分、无界函数积分 (瑕积分),审敛法。
- 定积分的应用:
- 几何应用: 平面图形面积、旋转体体积、已知平行截面面积的立体体积、平面曲线弧长。
- 物理应用: 变力做功、水压力、质心与形心。
- 不定积分:
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第四章：向量代数与空间解析几何
- 向量代数: 向量概念、线性运算、数量积、向量积、混合积。
- 空间解析几何:
- 平面与直线: 方程 (点法式、一般式、参数式、对称式)，位置关系 (平行、垂直、夹角)。
- 曲面与空间曲线: 方程 (柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面),空间曲线在坐标面上的投影。
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第五章：多元函数微分学及其应用
- 基本概念: 多元函数、极限、连续 (有界闭区域上连续函数的性质)。
- 偏导数与全微分:
- 偏导数: 定义、几何意义、高阶偏导数 (混合偏导数连续性与求导次序无关)。
- 全微分: 定义、必要条件、充分条件。
- 复合函数与隐函数求导法则:
- 复合函数求导: 链式法则 (中间变量为一元或多元)。
- 隐函数求导: 一个方程确定的隐函数、方程组确定的隐函数。
- 方向导数与梯度:
- 方向导数: 定义、计算。
- 梯度: 定义、几何意义 (方向导率最大的方向)。
- 多元函数微分学的应用:
- 几何应用: 空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线。
- 极值: 无条件极值 (必要/充分条件)、条件极值 (拉格朗日乘数法)。
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第六章：多元函数积分学
- 二重积分:
- 概念与性质: 几何意义 (曲顶柱体体积)。
- 计算: 直角坐标系 (X/Y型区域)、极坐标系。
- 三重积分:
- 概念与性质。
- 计算: 直角坐标系 (“先一后二”、“先二后一”)、柱面坐标系、球面坐标系。
- 曲线积分:
- 第一类曲线积分 (对弧长): 定义、性质、计算。
- 第二类曲线积分 (对坐标): 定义、性质、计算、物理意义 (变力做功)。
- 格林公式: 条件、应用 (计算曲线积分、求面积)。
- 平面上曲线积分与路径无关的条件: 四个等价命题。
- 曲面积分:
- 第一类曲面积分 (对面积): 定义、性质、计算。
- 第二类曲面积分 (对坐标): 定义、性质、计算、物理意义 (通量)。
- 高斯公式: 条件、应用 (计算曲面积分)。
- 斯托克斯公式: 条件、应用 (计算空间曲线积分)。
- 场论初步: 散度、旋度。
- 二重积分:
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第七章：无穷级数
（图片来源网络，侵删）- 常数项级数:
- 概念: 收敛、发散、部分和。
- 性质: 线性性、级数收敛的必要条件。
- 审敛法:
- 正项级数: 比较审敛法、比值 (达朗贝尔) 审敛法、根值 (柯西) 审敛法、积分审敛法。
- 交错级数: 莱布尼茨审敛法。
- 任意项级数: 绝对收敛、条件收敛。
- 幂级数:
- 概念: 阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间、收敛域。
- 性质: 和函数的连续性、逐项求导、逐项积分。
- 函数展开成幂级数: 直接法、间接法 (利用常用展开式)。
- 傅里叶级数:
- 概念: 三角级数、正交系。
- 傅里叶系数与傅里叶级数。
- 狄利克雷收敛定理。
- 周期为 2π 和 2l 的函数展开。
- 常数项级数:
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第八章：常微分方程
- 基本概念: 阶、解、通解、特解、初始条件。
- 一阶微分方程:
- 可分离变量方程。
- 齐次方程。
- 一阶线性微分方程。
- 伯努利方程。
- 全微分方程。
- 可降阶的高阶微分方程:
- y^(n) = f(x) 型。
- y'' = f(x, y') 型。
- y'' = f(y, y') 型。
- 高阶线性微分方程:
- 线性解的结构: 齐次/非齐次通解结构。
- 常系数齐次线性微分方程: 特征方程法。
- 常系数非齐次线性微分方程: 待定系数法 (自由项为多项式、指数、正弦余弦及其组合)。
- 欧拉方程。
第二部分：线性代数
线性代数的知识点环环相扣，核心是矩阵和向量,贯穿始终。
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第一章：行列式
- 概念: 对角线法则、逆序数、n阶行列式定义。
- 性质: 六大性质 (转置、互换、提公因子、拆项、两行成比例值为零、加边)。
- 计算: 化为三角形、展开定理 (按行/列)、范德蒙行列式。
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第二章：矩阵
- 概念: 矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称/反对称矩阵。
- 运算: 线性运算、乘法、转置、伴随矩阵、逆矩阵。
- 分块矩阵: 运算、应用。
- 矩阵的秩: 定义、求法 (初等变换)、性质。
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第三章：向量
- 线性组合与线性表示。
- 线性相关与线性无关: 定义、判定定理。
- 向量组的秩: 极大线性无关组、向量组的秩与矩阵的秩的关系。
- 向量空间: 基、维数、坐标、基变换与坐标变换、过渡矩阵。
- 内积: 线性无关向量组的正交化、施密特正交化方法、正交矩阵。
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第四章：线性方程组
- 克拉默法则。
- 非齐次线性方程组: 有解的充要条件、解的结构 (通解 = 导出组通解 + 特解)。
- 齐次线性方程组: 有非零解的充要条件、解的结构 (基础解系、通解)。
- 解的判定: 系数矩阵与增广矩阵的秩的关系。
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第五章：特征值与特征向量
- 概念: 特征值、特征向量、特征多项式、特征方程。
- 计算: 求特征值、求特征向量。
- 性质: 特征值之和与积、不同特征值对应的特征向量线性无关。
- 相似矩阵: 定义、性质、相似对角化的条件。
- 实对称矩阵的性质: 特征值为实数、特征向量正交、必能相似对角化、可用正交矩阵对角化。
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第六章：二次型
- 概念: 二次型及其矩阵表示。
- 化二次型为标准形:
- 正交变换法 (核心方法)。
- 配方法。
- 合同变换法。
- 二次型的正定性:
- 概念: 正定、负定、不定。
- 判定: 惯性指数、顺序主子式。
第三部分：概率论与数理统计
数一的统计部分要求较高,需要理解公式背后的统计思想。
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第一章：随机事件和概率
- 随机事件: 关系 (包含、相等、互斥、对立、完备) 与运算 (并、交、差、德摩根律)。
- 概率: 定义 (统计、古典、几何)、性质、五大公式。
- 加法公式。
- 减法公式。
- 条件概率。
- 乘法公式。
- 全概率公式 与 贝叶斯公式。
- 独立性: 事件独立、独立重复试验、伯努利概型。
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第二章：随机变量及其分布
- 随机变量: 概念、分类 (离散型、连续型、混合型)。
- 分布函数: 定义、性质。
- 离散型随机变量: 分布律、常见分布 (0-1, 二项, 泊松, 几何)。
- 连续型随机变量: 概率密度函数、常见分布 (均匀, 指数, 正态)。
- 随机变量函数的分布: 离散型 (列表法)、连续型 (分布函数法/公式法)。
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第三章：多维随机变量及其分布
- 二维随机变量: 联合分布函数、联合分布律 (离散)、联合概率密度 (连续)。
- 边缘分布: 边缘分布函数、边缘分布律、边缘概率密度。
- 条件分布: 条件分布律、条件概率密度。
- 独立性: 随机变量的独立性。
- 常见二维分布: 均匀分布、二维正态分布。
- 两个随机变量函数的分布: Z=X+Y, M=max(X,Y), N=min(X,Y)。
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第四章：随机变量的数字特征
- 数学期望 (均值): 定义、性质、随机变量函数的期望。
- 方差: 定义、性质、标准差。
- 常见分布的期望与方差 (必须牢记)。
- 协方差与相关系数: 定义、性质、不相关的概念与关系。
- 矩、协方差矩阵。
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第五章：大数定律与中心极限定理
- 大数定律: 依概率收敛、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律。
- 中心极限定理: 独立同分布 (列维-林德伯格定理)、二项分布的棣莫弗-拉普拉斯定理。
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第六章：样本及抽样分布
- 基本概念: 总体、个体、样本、简单随机样本、统计量。
- 常用统计量: 样本均值、样本方差、样本矩、顺序统计量。
- 抽样分布: 三大分布 (χ²分布, t分布, F分布) 的定义、性质、分位数。
- 正态总体的抽样分布: 样本均值、样本方差的分布。
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第七章：参数估计
- 点估计: 矩估计法、最大似然估计法。
- 估计量的评选标准: 无偏性、有效性、一致性。
- 区间估计: 置信区间、置信度的概念。
- 正态总体参数的置信区间: 一个/两个正态总体均值、方差的区间估计。
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第八章：假设检验
- 基本概念: 原假设与备择假设、检验统计量、拒绝域、两类错误。
- 显著性检验: P值法。
- 正态总体参数的假设检验: 一个/两个正态总体均值、方差的检验 (U检验、t检验、χ²检验、F检验)。
如何使用这份思维导图
- 宏观把握: 在复习初期，通读此导图，建立数一的整体知识框架,明白各部分在考什么。
- 章节复习: 每复习一个章节，对照导图，检查自己是否掌握了所有子知识点，对于不熟悉的概念,回头精读教材或课程。
- 查漏补缺: 在刷题或模拟考试后，对于做错的题目，定位到导图中的具体知识点，分析错误原因，是概念不清、方法不会还是计算失误。
- 考前冲刺: 考前用此导图进行快速回顾，强化记忆，特别是各章节的核心公式、定理和方法。
祝你考研顺利,成功上岸！
