理论力学 思维导图

中心主题：理论力学

• 核心目标：研究物体机械运动的基本规律。
• 核心思想：从“描述运动”到“探究运动原因”，再到“用更普适的原理分析问题”。
• 三大支柱：静力学、运动学、动力学。

静力学

• 研究对象：物体的平衡状态（静止或匀速直线运动）。
• 核心问题：分析物体在各种力系作用下的平衡条件。
• 基本概念
  • 力：物体间的相互作用，是矢量。

    三要素：大小、方向、作用点。

    
    （图片来源网络，侵删）
  • 力系：作用在物体上的一组力。
  • 刚体：在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体（理想模型）。
  • 平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或匀速直线运动的状态。
• 基本公理
  • 二力平衡公理
  • 加减平衡力系公理
  • 力的平行四边形法则（或三角形法则）
  • 作用与反作用公理
  • 刚化原理
• 力的处理
  • 力在轴上的投影：代数量（Fx = F * cosα）。
  • 力对点之矩：矢量，衡量力使物体绕某点转动效应（MO(r) = r × F）。
  • 力对轴之矩：代数量,衡量力使物体绕某轴转动效应。
  • 力偶：大小相等、方向相反、不共线的两个平行力。

    力偶矩：矢量,与矩心位置无关。

• 力系简化与平衡
  • 汇交力系
    • 简化结果：一个合力。
    • 平衡条件：合力矢量为零（ΣF = 0）。
    • 平衡方程：ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0。
  • 力偶系
    • 简化结果：一个合力偶。
    • 平衡条件：合力偶矩矢量为零（ΣM = 0）。
  • 任意力系（空间/平面）
    • 简化：向任一点O简化，得到一个主矢 FR 和一个主矩 MO。
    • 平衡条件：主矢和主矩同时为零（FR = 0, MO = 0）。
    • 平衡方程：
      • 空间任意力系：6个独立方程（ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0, ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0）。
      • 平面任意力系：3个独立方程（ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMO=0 或二矩式、三矩式）。
• 应用
  • 物体系统的平衡：分析单个物体或多个物体组成的系统。
    • 静定 vs. 超静定：未知量数目与独立平衡方程数目是否相等。
  • 桁架：由二力杆组成的结构。
    • 节点法：取节点为研究对象。
    • 截面法：用假想截面截断杆件。
  • 摩擦
    • 静滑动摩擦：Fs ≤ f*FN (f为静摩擦系数)，临界时 Fsmax = f*FN。
    • 动滑动摩擦：Fd = f'*FN (f'为动摩擦系数)。
    • 摩擦角与自锁现象。

运动学

• 研究对象：只描述物体的几何运动,不涉及力和质量。
• 核心问题：确定物体在空间中的位置、速度和加速度。
• 基本概念
  • 参考系：描述运动的参照物。
  • 时间与时刻：t vs. Δt。
  • 点的运动：研究物体上某个点的轨迹、速度、加速度。
  • 刚体的运动：研究整个刚体的平动、转动等。
• 点的运动描述
  • 矢量法：r(t), v = dr/dt, a = dv/dt。
  • 坐标法
    • 直角坐标系：x(t), y(t), z(t)。
    • 自然坐标系（弧坐标法）：
      • 切向加速度：at = dv/dt,改变速度大小。
      • 法向加速度：an = v²/ρ，改变速度方向（ρ为曲率半径）。
    • 极坐标系：r(t), θ(t)。
• 刚体的基本运动
  • 平动
    • 定义：刚体上任意直线始终与其初始位置保持平行。
    • 特点：各点运动轨迹相同，在同一瞬时的速度、加速度也相同,可简化为点的运动。
  • 定轴转动
    • 定义：刚体上有一条直线保持不动。
    • 描述：φ(t) (转角)。
    • 角速度：ω = dφ/dt。
    • 角加速度：α = dω/dt。
    • 各点速度与加速度：v = ω × r，a = a_t + a_n (切向 a_t = α × r，法向 a_n = ω × v)。
• 刚体的平面运动
  • 定义：刚体上任意一点始终与某一固定平面保持距离不变。
  • 运动分解：随基点的平动 + 绕基点的转动。
  • 速度分析
    • 基点法：vB = vA + vBA (A为基点)。
    • 速度投影定理：速度矢量在任意轴上的投影相等。
    • 瞬心法：找瞬时速度为零的点（速度瞬心P）,则刚体运动可视为绕P点的瞬时转动。
  • 加速度分析
    • 基点法：aB = aA + aBA^t + aBA^n (只有基点法)。
    • 注意：一般情况下,不存在加速度瞬心。

动力学

• 研究对象：物体的运动与引起运动的力之间的关系。
• 核心问题：已知力求运动，或已知运动求力,或两者都求。
• 动力学基本定律
  • 牛顿第一定律（惯性定律）
  • 牛顿第二定律（F = ma）：核心方程,矢量形式。
  • 牛顿第三定律（作用与反作用定律）
  • 适用范围：惯性参考系,宏观低速物体。
• 质点动力学基本方程
  • 直角坐标形式：max = ΣFx, may = ΣFy, maz = ΣFz。
  • 自然坐标形式：mat = ΣFt, man = ΣFn, maz = ΣFb (z轴为副法线)。
• 动力学普遍定理
  • 动量定理
    • 动量：p = mv (衡量物体机械运动强弱)。
    • 动量定理：dp/dt = F (质点系的动量主矢对时间的导数等于外力系的主矢)。
    • 质心运动定理：mac = ΣF (质心的运动像一个集中了所有质量的质点，受所有外力的作用)。
    • 守恒：若ΣF = 0，则p = 常矢量。
  • 动量矩定理
    • 动量矩：LO = r × mv (绕点O的动量矩)。
    • 动量矩定理：dLO/dt = MO (质点系对固定点O的动量矩主矢对时间的导数等于外力系对该点的主矩)。
    • 定轴转动微分方程：Jz * α = Mz (Jz为转动惯量)。
    • 守恒：若MO = 0，则LO = 常矢量。
  • 动能定理
    • 动能：T = ½mv² (质点)，T = ½Jzω² (定轴转动刚体)，T = ½MvC² + ½JCω² (平面运动刚体)。
    • 力的功：W = ∫F·dr。
    • 常见力做功：
      • 重力：W = ±mgh。
      • 弹性力：W = ½k(δ1² - δ2²)。
      • 力偶：W = M * Δφ。
    • 动能定理：T2 - T1 = ΣW (动能的增量等于所有力做的功之和)。
    • 机械能守恒：若只有有势力（如重力、弹力）做功，则 T + V = 常量 (V为势能)。
• 达朗贝尔原理 (动静法)
  • 思想：将动力学问题转化为静力学问题来处理。
  • 惯性力：Fg = -ma (虚拟力)。
  • 在质点上加上惯性力，则作用在质点上的主动力、约束力和惯性力组成平衡力系。
  • 应用：求解动约束反力非常方便。

分析力学初步

• 核心思想：用能量（标量）代替力（矢量）作为基本量，用变分原理作为最高原理，适用于更复杂的系统（如多自由度、非完整约束）。
• 基本概念
  • 约束：限制物体运动的条件。
    • 完整约束 vs. 非完整约束
    • 定常约束 vs. 非定常约束
  • 自由度：确定系统位置的独立坐标数目。
  • 广义坐标：确定系统位形的独立参数（q1, q2, ..., qn）。
  • 虚位移：在给定瞬时，约束所允许的任何无限小的位移（δr）。
  • 理想约束：约束反力在虚位移上做功之和为零（ΣN·δr = 0）。
• 基本原理
  • 虚位移原理
    • 表述：具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：所有主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零（ΣF·δr = 0）。
    • 广义坐标形式：Qk = 0 (k=1,2,...,n)，Qk 为对应于 qk 的广义力。
  • 动力学普遍方程 (达朗贝尔-拉格朗日方程)
    • 表述：Σ(Fi + Fgi)·δri = 0,即主动力和惯性力在虚位移上做功之和为零。
  • 拉格朗日方程
    • 推导：从动力学普遍方程出发,用广义坐标表示。
    • 形式一：d/dt(∂T/∂q̇k) - ∂T/∂qk = Qk (适用于主动力为非有势力)。
    • 形式二（保守系统）：d/dt(∂L/∂q̇k) - ∂L/∂qk = 0，L = T - V 为拉格朗日函数。

专题与补充

• 振动理论
  • 单自由度系统的自由振动：无阻尼 (ẍ + ωn²x = 0),有阻尼。
  • 受迫振动：简谐激励 (ẍ + 2ζωn ẋ + ωn²x = h sinωt)。
  • 共振现象。
• 碰撞问题
  • 特点：作用时间极短,力极大。
  • 恢复系数：e = (v2' - v1') / (v1 - v2)。
  • 冲量定理：用于求解碰撞后的速度。
• 相对运动动力学
  • 非惯性参考系中的动力学方程：ma = F + Feg + Fic。
    • Feg = -m aO (牵连惯性力)。
    • Fic = -2m ω × v_r (科氏惯性力)。

如何使用这份思维导图

1. 宏观把握：从中心主题出发，理解静、运、动三大模块的递进关系。
2. 逐级展开：深入每个模块，理解其核心概念、公理和基本方程。
3. 建立联系：特别注意不同模块间的联系。
   • 静力学是动力学平衡的特例。
   • 运动学是动力学的基础,描述运动状态。
   • 动力学普遍定理（动量、动量矩、动能）从不同侧面揭示了运动与力的关系。
   • 分析力学是牛顿力学的升华,提供了更强大的分析工具。
4. 问题导向：遇到具体问题时，思考它属于哪个模块，需要用到哪些核心知识点和公式，分析一个机构的速度，就进入“运动学-平面运动”分支,选择基点法或瞬心法。

希望这份思维导图能成为你学习理论力学的得力助手！