中心主题：空间几何

第一分支：核心概念与基础

• 1 空间几何

  
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  • 定义: 研究空间中点、线、面、体的位置关系、度量性质和图形结构的数学分支。
  • 研究对象: 点、线、面、体。
  • 核心思想: 从平面到空间的拓展，从定性（位置关系）到定量（长度、角度、面积、体积）的研究。

• 2 公理与定理

  • 公理: 不加证明而作为推理基础的命题。
    • 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（确定平面的依据）
    • 公理2: 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。（确定平面的依据）
    • 公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（两个平面的交线）
  • 定理: 由公理或其他已知命题经过逻辑推理证明的真命题。
    • 判定定理: 判断某种位置关系或几何图形成立的条件。
    • 性质定理: 某种位置关系或几何图形成立后所具有的必然结果。

第二分支：基本元素与位置关系

• 1 点、线、面

  • 点: 空间的基本构成单元，无大小，用大写字母表示（如 A, B, C）。
  • 线: 动点的轨迹,有直线和曲线之分。
  • 面: 线的轨迹,有平面和曲面之分。
  • 体: 面所围成的空间部分。

• 2 位置关系

  • 线线关系
    • 共面:
      • 相交: 有且只有一个公共点。
      • 平行: 无公共点。
      • 重合: 有无数个公共点。
    • 异面: 不在任何同一个平面内，无公共点。（核心特征）
  • 线面关系
    • 线在面内: 直线上所有点都在平面内。
    • 线与面相交: 有且只有一个公共点（交点）。
      • 垂直: 直线与平面内任意一条过交点的直线都垂直。
      • 斜交: 直线与平面不垂直。
    • 线与面平行: 无公共点。
  • 面面关系
    • 重合: 所有点都相同。
    • 相交: 有一条公共直线（交线）。
      • 垂直: 二面角为90°。
      • 斜交: 二面角不为90°。
    • 平行: 无公共点。

第三分支：空间中的平行与垂直

• 1 平行关系

  
  （图片来源网络，侵删）
  • 线线平行
    • 判定: 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
    • 定理: 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
    • 空间推广: 如果一个平面经过另一个平面的一条平行线，且这两个平面不重合,则这两个平面平行。
  • 线面平行
    • 判定定理: 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
    • 性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,则经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
  • 面面平行
    • 判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
    • 性质定理: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

• 2 垂直关系

  • 线线垂直
    • 定义: 两条直线所成的角为90°。
    • 判定: 三垂线定理及其逆定理（核心工具）。
      • 三垂线定理: 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
      • 逆定理: 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。
  • 线面垂直
    • 判定定理: 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
    • 性质定理: 如果一条直线垂直于一个平面,那么它垂直于这个平面内的所有直线。
  • 面面垂直
    • 定义: 两个平面所成的二面角是直二面角。
    • 判定定理: 一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
    • 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

第四分支：空间中的角与距离

• 1 角

  • 异面直线所成的角: 通过平移，将两条异面直线转化为两条相交直线，所成的锐角（或直角）。
  • 直线与平面所成的角: 直线与其在平面内的射影所成的锐角（或直角），范围：[0°, 90°]。
  • 二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其平面角是在棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角。

• 2 距离

  • 点点距离: 两点间线段的长度。
  • 点线距离: 点到直线的垂线段的长度。
  • 点面距离: 点到平面的垂线段的长度。
  • 平行线间距离: 两条平行直线上各取一点，连接所得线段的最小长度（即公垂线段的长度）。
  • 异面直线间的距离: 两条异面直线的公垂线段的长度。
  • 线面距离: 平行于平面的直线上任意一点到平面的距离。
  • 面面距离: 两个平行平面间的垂线段的长度。

第五分支：空间几何体

• 1 多面体

  
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  • 棱柱
    • 定义: 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体。
    • 分类: 三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、斜棱柱等。
    • 表面积: 侧面积 + 2 × 底面积。
    • 体积: V = S底 × h (底面积 × 高)。
  • 棱锥
    • 定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体。
    • 分类: 三棱锥、四棱锥等。
    • 正棱锥: 底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心。
    • 表面积: S侧 + S底。
    • 体积: V = (1/3) × S底 × h。
  • 棱台
    • 定义: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分。
    • 体积: V = (1/3) × h × (S' + √(S'S) + S) (上底面积 + 上下底面积乘积的算术平方根 + 下底面积)。

• 2 旋转体

  • 圆柱
    • 定义: 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体。
    • 表面积: S侧 = 2πrh, S全 = 2πrh + 2πr²。
    • 体积: V = πr²h。
  • 圆锥
    • 定义: 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的几何体。
    • 表面积: S侧 = πrl, S全 = πrl + πr² (l为母线长)。
    • 体积: V = (1/3)πr²h。
  • 圆台
    • 定义: 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分。
    • 表面积: S侧 = π(r₁ + r₂)l, S全 = π(r₁ + r₂)l + π(r₁² + r₂²)。
    • 体积: V = (1/3)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)。
  • 球
    • 定义: 半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转所成的曲面。
    • 表面积: S = 4πR²。
    • 体积: V = (4/3)πR³。

第六分支：空间向量与坐标法

• 1 空间向量

  • 定义: 具有大小和方向的量。
  • 坐标表示: 在空间直角坐标系中，向量 a = (x, y, z)。
  • 运算: 加法、减法、数乘。
  • 数量积 (点积):
    • 定义: a · b = |a||b|cosθ (θ为夹角)。
    • 坐标运算: a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
    • 应用: 求夹角、判断垂直（a·b=0）。
  • 向量积 (叉积):
    • 定义: a × b 是一个向量，其方向垂直于 a 和 b 所在的平面，大小 |a × b| = |a||b|sinθ。
    • 坐标运算:

      a × b = | i     j     k  |
              | x₁   y₁   z₁ |
              | x₂   y₂   z₂ |

    • 应用: 求平面的法向量、判断平行。

• 2 空间直角坐标系

  • 建立: 三条两两垂直的数轴（x, y, z）。
  • 点的坐标: P(x, y, z)。
  • 两点间距离公式: |P₁P₂| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]。
  • 中点坐标公式: M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。

• 3 空间向量在立体几何中的应用

  • 证明平行/垂直: 通过向量的数积（点积）或叉积（叉积）的性质来证明。
  • 求夹角: 利用数量积公式 cosθ = (a·b) / (|a||b|)。
    • 线线角: 两方向向量的夹角。
    • 线面角: 方向向量与法向量的夹角的余角。
    • 二面角: 两个平面的法向量的夹角或其补角。
  • 求距离:
    • 点面距离: d = |a·n| / |n| (a为从平面上一点指向该点的向量，n为法向量)。
    • 异面直线距离: d = |(AB·(a×b))| / |a×b| (A, B分别为两直线上点，a, b为方向向量)。

第七分支：综合应用

• 1 三视图

  • 定义: 从物体的正面、上面、左面三个不同方向看物体,所得到的图形。
  • 正面视图: 主视图。
  • 水平视图: 俯视图。
  • 侧面视图: 左视图。
  • 原则: 长对正，高平齐,宽相等。

• 2 展开图与折叠

  • 展开图: 将立体几何体的表面沿某些棱剪开,铺平在一个平面内得到的平面图形。
  • 折叠: 将展开图重新构造成立体几何体。
  • 关键: 抓住“变”与“不变”的关系（如棱长、面的大小、角度等）。

• 3 最值问题

  • 类型: 线段和最小、表面积/体积最值、表面上两点间距离最短（展开成平面后，两点间线段最短）。
  • 方法: 几何法（利用对称性）、代数法（建立函数求最值）、向量法。