什么是思维数学？

要明确一点：“思维数学”并不是一个独立的数学分支，而是一种教学理念和学习方法，它的核心目标不是教会学生解出某一道特定的题，而是培养学生用数学的思维方式去观察、分析、解决未知问题的能力。

它强调的“思维”通常包括：

• 逻辑推理能力：有条理地思考，从已知条件推导出结论。
• 抽象概括能力：从具体问题中提炼出数学模型和规律。
• 空间想象能力：在头脑中构建和操作图形。
• 问题转化能力：将一个复杂或陌生的问题，转化为一个简单或熟悉的问题来解决。
• 创新和发散思维能力：寻找多种解题路径，不拘泥于固定模式。

与传统数学的对比：

思维数学举例

下面我们通过几个不同年级和类型的例子,来具体感受“思维数学”的魅力。

小学低年级 - 鸡兔同笼问题（经典入门级）

问题： 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？

传统数学解法（方程法）： 这是初中以后的标准解法，非常高效，但对于小学生来说，比较抽象。

1. 设鸡有 x 只，兔有 y 只。
2. 根据头的数量,列出方程：x + y = 35
3. 根据脚的数量,列出方程：2x + 4y = 94
4. 解这个二元一次方程组,得出 x = 23, y = 12。
   • （解法过程略，重点在于这是一个程序化的知识应用）

思维数学解法（多种思路）：

假设法（最经典的思维训练）

• 第一步：假设全是鸡。
  • 如果35只全是鸡,那么应该有 35 × 2 = 70 只脚。
• 第二步：找出差异。
  • 实际上有94只脚,比假设多了 94 - 70 = 24 只脚。
• 第三步：分析差异原因。
  • 为什么会多出24只脚？因为我们把一些兔子当成了鸡，每把一只兔子当成一只鸡，脚的数量就会少 4 - 2 = 2 只。
• 第四步：解决问题。
  • 多出来的24只脚,除以每只兔子被“误认”后少的2只脚，就能算出兔子的数量：24 ÷ 2 = 12 只。
  • 那么鸡的数量就是 35 - 12 = 23 只。
• 思维锻炼点：假设、比较、转化，学生没有学过方程，但通过合理的假设，将一个复杂问题转化成了一个简单的除法问题，这极大地锻炼了逻辑推理和问题转化能力。

抬脚法（巧妙的逻辑推理）

• 第一步：让所有动物都抬起两只脚。
  • 笼子里有35个头,所以有35只动物，每只动物都抬起2只脚，那么地上剩下的脚就是 94 - 35 × 2 = 24 只。
• 第二步：分析剩下的脚。

  鸡已经抬起了所有的脚,所以现在地上剩下的脚，全都是兔子的。

• 第三步：解决问题。
  • 每只兔子还有2只脚在地上,所以兔子的数量就是 24 ÷ 2 = 12 只。
  • 鸡的数量就是 35 - 12 = 23 只。
• 思维锻炼点：想象、简化、逻辑，这个方法更巧妙，甚至不需要用到“假设”的概念，而是通过一个生动的动作，将问题情境简化，非常考验学生的想象力和对数量关系的深刻理解。

小学高年级 - 求不规则图形面积

问题： 求下图阴影部分的面积。（假设大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为5厘米）

传统数学解法（公式套用）

• 思路： 阴影部分 = 大正方形面积 - 三角形面积 - 小长方形面积。
• 计算：
  • 大正方形面积 = 10 × 10 = 100 cm²
  • 三角形面积 = (10 × 5) ÷ 2 = 25 cm²
  • 小长方形面积 = 5 × 5 = 25 cm²
  • 阴影部分面积 = 100 - 25 - 25 = 50 cm²
• 思维锻炼点：识别基本图形，套用面积公式，进行四则运算，这是一个求差的思维。

思维数学解法（割补法、平移法）

• 思路： 观察图形，发现阴影部分可以重新拼接成一个更规则的图形。
• 操作：
  1. 将左上角的那个三角形“切割”下来。
  2. 将它“平移”到右下角那个小长方形的位置。
  3. 你会发现,阴影部分正好组成了一个边长为10厘米的正方形。
• 计算：
  • 拼接后的正方形边长 = 10 cm
  • 阴影部分面积 = 10 × 10 = 100 cm²
• （等等，这个例子中割补法似乎不对，我们换一个更经典的例子来说明）

修正后的思维数学例子：

• 传统解法： 阴影部分 = 梯形面积 - 空白三角形面积，计算过程相对繁琐。
• 思维数学解法（等积变形）：
  • 第一步：观察。 发现空白三角形的“底”是梯形的上底，“高”是梯形的高。
  • 第二步：转化。 连接对角线，将梯形分成两个三角形，你会发现，阴影部分的面积，等于梯形下底构成的三角形的面积。
  • 第三步：简化。 或者，利用“等底等高的三角形面积相等”的原理，将阴影部分的面积转化为一个更容易计算的图形的面积。
• 思维锻炼点：观察、联想、转化、空间想象，学生不再局限于“切割”和“填补”，而是利用图形内在的等量关系进行“变形”，找到最简洁的计算路径，这培养了更高层次的抽象和逻辑思维能力。

初中及以上 - 数列求和

问题： 计算 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 的和。

传统数学解法（公式法）

• 思路： 使用等差数列求和公式 S_n = n(a_1 + a_n) / 2。
• 计算：
  • S_100 = 100 × (1 + 100) / 2 = 5050。
• 思维锻炼点：记忆并应用公式，快速得到结果。

思维数学解法（高斯求和法）

• 思路： 配对求和。
• 操作：
  1. 将数列正着写一遍：S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
  2. 再将数列倒着写一遍：S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1
  3. 将两式相加： 2S = (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (99+2) + (100+1)
  4. 观察发现,每一对的和都是101，一共有100对。 2S = 101 × 100
  5. S = (101 × 100) / 2 = 5050。
• 思维锻炼点：配对、对称、归纳，这个方法不仅巧妙地解决了问题，更重要的是，它揭示了等差数列求和的内在数学原理（平均数乘以项数），这种“化加为乘”的转化思想，是数学中极其重要的思维模式，可以推广到很多其他问题中。

通过以上例子可以看出,“思维数学”的精髓在于：

1. 过程重于结果：鼓励学生展示自己的思考过程，即使答案错了，思路的价值也很高。
2. 方法重于公式：鼓励学生探索不同的解题路径，寻找最巧妙、最本质的方法。
3. 理解重于记忆：强调知其然，更要知其所以然，理解数学概念和原理的来龙去脉。
4. 能力重于知识：最终目标是培养学生受益终身的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，而不仅仅是应付考试。

可以说,思维数学是数学学习的“内功”，它训练的是一个人的“大脑操作系统”，而不仅仅是安装一些“应用程序”（公式）。