与坐标思维导图涵盖点、线、面等图形的位置关系，用坐标
图形与坐标思维导图
坐标系基础
（一）平面直角坐标系
- 定义：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，水平的数轴称为x轴，竖直的数轴称为y轴，它们的公共原点O称为坐标原点。
- 象限划分：x轴和y轴将平面分为四个象限，第一象限内点的坐标符号为（+，+），第二象限为（-，+），第三象限为（-，-），第四象限为（+，-）。 |象限|坐标符号| |----|----| |第一象限|（+，+）| |第二象限|（-，+）| |第三象限|（-，-）| |第四象限|（+，-）|
（二）点的坐标表示
- 有序数对：在平面直角坐标系中，一个点的位置可以用一对有序实数（x，y）来表示，其中x是横坐标，y是纵坐标，点A（3，2）表示该点在x轴正方向3个单位长度，y轴正方向2个单位长度的位置。
图形与坐标的关系
（一）点的平移与坐标变化
- 平移规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x + a，y）（或（x a，y））；向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y + b）（或（x，y b））。
- 示例：点B（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，坐标变为（1 + 2，1 + 3）=（3，4）。
（二）图形的平移与坐标变化
- 整体规律：图形的平移可以看作是图形上所有点的平移，如果一个图形沿x轴方向平移a个单位长度，沿y轴方向平移b个单位长度，那么图形上每个点（x，y）的对应点坐标为（x + a，y + b）。
- 举例：三角形ABC的顶点坐标分别为A（0，0）、B（1，0）、C（0，1），将三角形ABC向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度，则平移后的三角形A'B'C'的顶点坐标分别为A'（0 + 3，0 2）=（3，-2）、B'（1 + 3，0 2）=（4，-2）、C'（0 + 3，1 2）=（3，-1）。
（三）关于坐标轴对称的图形与坐标变化
- 关于x轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），图形关于x轴对称时，图形上每一点都按照此规律变化。
- 关于y轴对称：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），同样，图形关于y轴对称时，图形上所有点都遵循该规律。
- 示例：点D（2，5）关于x轴对称的点D₁坐标为（2，-5），关于y轴对称的点D₂坐标为（-2，5）。
常见图形在坐标系中的特点
（一）直线
- 一般式方程：在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为Ax + By + C = 0（A、B不同时为0），A、B、C为常数。
- 斜截式方程：当B≠0时，直线方程可以写成y = kx + b的形式，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
- 两点式方程：已知直线上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），当x₁≠x₂时，直线方程为(y y₁)/(x x₁) = (y₂ y₁)/(x₂ x₁)。
（二）圆
- 标准方程：以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为(x a)² + (y b)² = r²。
- 一般方程：圆的一般方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0（D² + E² 4F > 0），其中圆心坐标为(-D/2，-E/2)，半径为√(D² + E² 4F)/2。
利用坐标解决图形问题
（一）求线段长度
- 距离公式：在平面直角坐标系中，两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）之间的距离公式为AB = √[(x₂ x₁)² + (y₂ y₁)²]。
- 示例：已知点E（1，2）、F（4，6），则EF的距离为√[(4 1)² + (6 2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5。
（二）求图形面积
- 三角形面积：已知三角形三个顶点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则三角形面积S = |(x₁(y₂ y₃) + x₂(y₃ y₁) + x₃(y₁ y₂))/2|。
- 四边形面积：对于在平面直角坐标系中的四边形，可以通过将其分割成两个三角形，分别求出两个三角形的面积后再相加得到四边形的面积。
相关问题与解答
问题1：如何确定一个点是否在某个图形上？
解答：对于一个给定的图形，如果这个图形可以用方程来表示，那么将点的坐标代入方程，若等式成立，则该点在图形上；若等式不成立，则该点不在图形上，判断点G（3，4）是否在直线y = 2x上，将x = 3代入直线方程，得到y = 2×3 = 6，而点G的y坐标为4，4≠6，所以点G不在直线y = 2x上。
问题2：怎样通过坐标判断两条直线的位置关系？
解答：设两条直线的方程分别为l₁：A₁x + B₁y + C₁ = 0和l₂：A₂x + B₂y + C₂ = 0。
- 相交：当A₁B₂ A₂B₁≠0时，两条直线相交，其交点坐标可通过解联立方程组得到。
- 平行：当A₁B₂ A₂B₁ = 0且B₁C₂ B₂C₁≠0（或A₁C₂ A₂C₁≠0）时，两条直线平行。
- 重合：当A₁B₂ A₂B₁ = 0且B₁C₂ B₂C₁ = 0且A₁C₂ A₂C₁ = 0时，两条
