相交线与平行线 - 思维导图
中心主题：相交线与平行线
（图片来源网络，侵删）
相交线
- 核心概念：
- 定义： 在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
- 相关元素：
- 交点： 两条直线相会的点。
- 邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。性质： 互补（和为180°）。
- 对顶角： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。性质： 相等。
- 特殊相交线 - 垂线
- 定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 性质：
- 存在性 & 唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
- 画法： 用三角板或量角器。
平行线
- 核心概念：
- 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：
a ∥ b。 - 公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 三线八角模型（核心基础）：
- 基本图形： 两条直线被第三条直线所截。
- 同位角： 在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁。（如：∠1与∠5）
- 内错角： 在两条直线的内部，在第三条直线的两侧。（如：∠3与∠5）
- 同旁内角： 在两条直线的内部，在第三条直线的同旁。（如：∠3与∠6）
- 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：
- 平行线的判定
- 基本事实（公理）： 同位角相等，两直线平行。
- 定理1： 内错角相等，两直线平行。
- 定理2： 同旁内角互补，两直线平行。
- 推论： 垂直于同一条直线的两条直线平行。
- 平行线的性质
- 性质1（公理）： 两直线平行，同位角相等。
- 性质2（定理）： 两直线平行，内错角相等。
- 性质3（定理）： 两直线平行，同旁内角互补。
- 推论： 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
- 平行线的距离
- 定义： 同时垂直于两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。
- 性质： 平行线间的距离处处相等。
平移
- 定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移。
- 要素：
- 平移方向： 图形移动的方向。
- 平移距离： 图形移动的距离。
- 性质：
- 形状和大小不变： 平移不改变图形的形状和大小。
- 对应点连线平行且相等： 平移后，图形中每一个点都沿相同方向移动了相同距离。连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等。
- 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。
- 作图步骤：
- 确定平移的方向和距离。
- 找出关键点（如顶点）。
- 过关键点作平移方向的平行线,并在其上截取平移距离，得到对应点。
- 顺次连接对应点,得到平移后的图形。
综合应用与题型
- 角度计算：
- 利用对顶角、邻补角性质。
- 利用平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角）进行角的等量代换或互补计算。
- 判定与性质的综合运用：
- 已知角的关系,判定两直线平行。
- 已知两直线平行,推导角的数量关系。
- “由角定线，由线定角”的综合题。
- 实际应用：
- 建筑与设计： 地砖铺设、门窗设计（利用平行保证平整）。
- 交通： 铁道、公路（利用平行保证方向一致）。
- 生活： 推拉门的运动、扶手电梯（平移现象）。
- 易错点提醒：
- 前提条件： “在同一平面内”是研究平行线的前提。
- 角的位置关系： 准确区分同位角、内错角、同旁内角是解题的关键。
- 因果关系： “判定”是“角”→“线”（根据角的关系判断平行）；“性质”是“线”→“角”（根据平行推导角的关系），二者不要混淆。
（图片来源网络，侵删）
