小学数学四年级下册《三角形》单元思维导图
中心主题：三角形
三角形的定义与基本要素
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定义
- 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）。
- 关键特征：三条边、三个角、三个顶点。
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基本要素
- 边：围成三角形的三条线段。
- 角：相邻两条边组成的角，共有三个角。
- 顶点：两条边相交的点，共有三个顶点。
三角形的特性
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稳定性
- 三角形具有稳定性,形状不易改变。
- 生活中的应用：自行车架、吊桥的钢索、塔吊的支架、照相机的三角架等。
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三角形三边关系
- 任意两边之和大于第三边。（任意两边之差小于第三边）
- 判断方法：只需检验较短的两条边之和是否大于最长的那条边。
- 举例：
- 能围成三角形：3cm, 4cm, 5cm (因为 3+4 > 5)
- 不能围成三角形：2cm, 2cm, 5cm (因为 2+2 = 4，不大于 5)
三角形的分类
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按角的大小分类
- 锐角三角形
- 定义：三个角都是锐角（小于90°）的三角形。
- 特点：角都是“尖尖的”。
- 直角三角形
- 定义：有一个角是直角（等于90°）的三角形。
- 特点：有“直角”。
- 关键线段：
- 斜边：直角所对的边（最长）。
- 直角边：夹直角的两条边。
- 钝角三角形
- 定义：有一个角是钝角（大于90°）的三角形。
- 特点：有一个角是“钝钝的”。
- 锐角三角形
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按边的长短关系分类
- 不等边三角形
- 定义：三条边的长度都不相等。
- 等腰三角形
- 定义：有两条边长度相等。
- 要素：
- 相等的两条边叫做腰。
- 另一条边叫做底。
- 两腰的夹角叫做顶角。
- 底边与腰的夹角叫做底角。
- 特性：两个底角相等。
- 等边三角形 (特殊的等腰三角形)
- 定义：三条边的长度都相等。
- 要素：
- 三条边都是腰。
- 三个角都是60°。
- 特性：三个角都相等，是轴对称图形。
- 不等边三角形
三角形的内角和
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定理
- 三角形的内角和等于 180°。
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验证方法
- 撕拼法：将三个角撕下来，顶点拼在一起，组成一个平角（180°）。
- 测量法：用量角器分别测量三个角的度数，然后相加，和约等于180°。
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应用
- 已知两角求第三角：
第三个角 = 180° - 第一个角 - 第二个角。 - 已知一角求另外两角的关系（等腰三角形）：
底角 = (180° - 顶角) ÷ 2。
- 已知两角求第三角：
三角形的底和高
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定义
- 底：可以任意选择一条边作为底。
- 高：从底边所对的顶点向底边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段就是高。
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关键点
- 一个三角形有三条底和对应的三条高。
- 直角三角形：两条直角边互为底和高。
- 钝角三角形：高的垂点在底边的延长线上。
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作用
- 是学习三角形面积计算的基础。
总结与联系
- 联系：
- 分类与内角和：无论哪种三角形（锐角、直角、钝角；不等边、等腰、等边），它们的内角和都是180°。
- 分类与边的关系：等腰三角形和等边三角形都满足“任意两边之和大于第三边”。
- 特性与稳定性：三边关系是三角形稳定性的数学基础。
