七年级下册数学第三章：整式的加减 思维导图
中心主题：整式的加减
第一分支：基本概念
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1 单项式
- 定义：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。
-5x,a²b, ,7
- 系数：单项式中的数字因数。
-5x的系数是-5；a²b的系数是1(常省略不写)； 的系数是 。- 注意：系数必须包括前面的符号。
- 次数：一个单项式中，所有字母的指数之和。
-5x²y³的次数是2 + 3 = 5。- 注意：单独一个非零常数的次数是
0。
- 定义：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。
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2 多项式
- 定义：几个单项式的和。
3x² - 2x + 5
- 项：多项式中的每个单项式。
3x²,-2x,5都是多项式3x² - 2x + 5的项。- 常数项：不含字母的项。
5是上述多项式的常数项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数。
3x² - 2x + 5的次数是2。
- 升幂/降幂排列
- 降幂排列：按某个字母的指数从大到小排列。
3x² - 2x + 5
- 升幂排列：按某个字母的指数从小到大排列。
5 - 2x + 3x²
- 降幂排列：按某个字母的指数从大到小排列。
- 定义：几个单项式的和。
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3 整式
- 定义：单项式和多项式统称为整式。
- 关系图：
整式 / \ 单项式 多项式
第二分支：整式的加减运算
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核心法则：去括号 和 合并同类项。
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1 同类项
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
-2x²y和5x²y是同类项；3ab和3a²b不是同类项。
- 判断关键：两相同，一无关（字母相同、相同字母的指数相同，与系数和字母顺序无关）。
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
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2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
- 步骤：
- 找：找出多项式中的同类项。
- 移：利用交换律和结合律，将同类项移到一起（用括号）。
- 合：合并同类项。
- 口诀：同类项，须找准，系数加，字母、指数均不动。
- 示例：
3x²y - 2xy² + 5x²y - 4= (3x²y + 5x²y) - 2xy² - 4= (3+5)x²y - 2xy² - 4= 8x²y - 2xy² - 4
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3 去括号与添括号
- 去括号法则：
- 括号前是“+”号：去掉括号和“+”号，括号里的各项符号不变。
+(a - b + c) = a - b + c
- 括号前是“-”号：去掉括号和“-”号，括号里的各项都变号。
-(a - b + c) = -a + b - c
- 括号前是“+”号：去掉括号和“+”号，括号里的各项符号不变。
- 添括号法则（去括号的逆运算）：
- 括号前是“+”号：括到括号里的各项符号不变。
- 括号前是“-”号：括到括号里的各项都变号。
- 去括号法则：
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4 整式的加减运算步骤
- 去括号：先去小括号，再去中括号,最后去大括号。
- 合并同类项：找出同类项并合并,将结果化为最简形式。
- 按某个字母降幂排列（可选，但建议养成习惯）。
- 示例：
(5a² - 3ab + b²) - (2a² + ab - 3b²)= 5a² - 3ab + b² - 2a² - ab + 3b²（去括号）= (5a² - 2a²) + (-3ab - ab) + (b² + 3b²)（合并同类项）= 3a² - 4ab + 4b²
第三分支：应用与拓展
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1 求代数式的值
- 方法：先将代数式化简（整式加减）,再将给定的字母值代入计算。
- 优点：化简后再代入，计算过程更简单,不易出错。
- 示例：
求 x=2, y=-1 时，代数式 2(x²y - xy²) - (xy² - x²y) 的值。化简：= 2x²y - 2xy² - xy² + x²y = 3x²y - 3xy²代入：= 3(2)²(-1) - 3(2)(-1)² = 3*4*(-1) - 3*2*1 = -12 - 6 = -18
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2 整式加减的应用
- 类型：解决实际问题，如：
- 图形的周长、面积、体积计算。
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间。
- 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间。
- 利润问题：利润 = 收入 - 成本。
- 解题关键：
- 审题：理解题意,找出已知量和未知量。
- 设元：用字母表示未知数。
- 列式：根据题意,列出含有未知数的代数式。
- 化简：对代数式进行整式加减运算,化简求值。
- 作答：回答问题,并带上单位。
- 类型：解决实际问题，如：
学习建议与技巧
- 理解概念是基础：务必吃透“单项式”、“多项式”、“同类项”的定义,这是后续所有运算的前提。
- 法则要记牢：去括号和合并同类项的法则要烂熟于心，特别是括号前是负号的情况,最容易出错。
- 步骤要清晰：做整式加减题时，严格按照“去括号 → 合并同类项 → 排列”的步骤来,可以减少失误。
- 多加练习：数学是练出来的，通过大量不同类型的习题，巩固知识点,提高计算速度和准确率。
- 联系实际：尝试用学到的知识去解决身边的小问题，你会发现数学很有趣,也更容易理解。
希望这份思维导图和学习建议能帮助你学好“整式的加减”这一章！加油！
