- 建立知识体系：理清各个知识点之间的联系，形成一张“知识网络”。
- 明确复习重点：快速定位核心概念、常用公式和重要思想方法。
- 查漏补缺：对照导图，检查自己哪些部分掌握得还不够牢固。
高中数学核心考点思维导图
中心主题：高中数学知识体系
集合与常用逻辑用语 (必修一)
- 集合
- 概念：元素、确定性、互异性、无序性
- 表示法：列举法、描述法、文氏图
- 关系：子集 ()、真子集 ()、相等 ()
- 运算：
- 并集 ()
- 交集 ()
- 补集 (
∁ᵤA)
- 性质：德摩根定律等
- 常用逻辑用语
- 命题：真命题、假命题
- 逻辑联结词：
- 且 ()
- 或 ()
- 非 ()
- 条件关系：
- 充分条件
- 必要条件
- 充要条件 ()
- 全称量词与存在量词：
- (任意)
- (存在)
- 命题的否定
函数 (必修一 & 选修二-1)
- 函数的概念与表示
- 三要素：定义域、值域、对应法则 (
f) - 表示法：解析法、列表法、图像法
- 分段函数
- 三要素：定义域、值域、对应法则 (
- 函数的性质
- 单调性：
- 定义（增函数、减函数）
- 判断方法（定义法、导数法）
- 应用（比较大小、解不等式）
- 奇偶性：
- 定义（奇函数
f(-x)=-f(x)，偶函数f(-x)=f(x)） - 图像特点（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）
- 判断步骤
- 定义（奇函数
- 周期性：
- 定义（存在非零常数T，使得
f(x+T)=f(x)） - 最小正周期
- 定义（存在非零常数T，使得
- 对称性：图像的对称轴、对称中心
- 单调性：
- 基本初等函数
- 指数函数：
y=aˣ(a>0, a≠1)- 图像与性质（定义域、值域、单调性、定点）
- 对数函数：
y=logₐx(a>0, a≠1)- 图像与性质（定义域、值域、单调性、定点）
- 运算性质（
logₐ(MN)=logₐM+logₐN等）
- 幂函数：
y=xᵅ- 常见幂函数的图像与性质
- 指数函数：
- 函数与方程
- 零点：方程
f(x)=0的根 - 零点存在性定理（连续性、端点函数值异号）
- 零点个数判断：数形结合
- 零点：方程
- 函数模型及其应用
- 增长速度比较：指数 > 幂 > 对数
- 应用题建模：实际问题 -> 函数关系 -> 求解 -> 还原
三角函数 (必修四 & 必修五)
- 任意角和弧度制
- 角的推广：正角、负角、零角
- 象限角与轴线角
- 弧度制：与角度制的换算
- 三角函数的定义
- 单位圆定义：
sinα=y,cosα=x,tanα=y/x - 几何定义：在直角三角形中
- 单位圆定义：
- 同角三角函数基本关系式
sin²α + cos²α = 1tanα = sinα / cosα
- 诱导公式
- 口诀：奇变偶不变，符号看象限
- 应用：化简求值
- 三角函数的图像与性质
- 正弦函数
y=sinx：五点法作图、周期、奇偶性、单调性、值域 - 余弦函数
y=cosx：五点法作图、周期、奇偶性、单调性、值域 - 正切函数
y=tanx：图像、周期、奇偶性、单调性、定义域 y=Asin(ωx+φ)+k的图像与性质：A：振幅，影响值域[k-|A|, k+|A|]- 影响周期 (
T=2π/|ω|) - 影响相位（左右平移）
k：影响图像上下平移
- 正弦函数
- 三角恒等变换
- 和差角公式：
sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)
- 二倍角公式：
sin2α,cos2α(三种形式),tan2α
- 辅助角公式：
a sinx + b cosx = √(a²+b²) sin(x+φ)
- 和差角公式：
- 解三角形 (必修五)
- 正弦定理：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R(R为外接圆半径)应用：已知两角一边或两边及其中一边的对角
- 余弦定理：
a² = b² + c² - 2bc cosA应用：已知三边或两边及其夹角
- 面积公式：
S = ½ab sinC - 应用：测量、航海等问题
- 正弦定理：
平面向量 (必修四)
- 向量的概念
- 有向线段：大小（模）、方向
- 特殊向量：零向量、单位向量
- 相等向量：大小、方向都相同
- 共线向量：方向相同或相反
- 向量的线性运算
- 加法：三角形法则、平行四边形法则
- 减法：
a-b = a+(-b) - 数乘：
λa，改变大小和方向
- 坐标运算
- 坐标表示：
a=(x,y) - 加法/减法：
±=(x₁±x₂, y₁±y₂) - 数乘：
λa=(λx, λy) - 共线：
x₁y₂ - x₂y₁ = 0
- 坐标表示：
- 数量积（点积）
- 定义：
a·b = |a||b|cosθ(θ为夹角) - 坐标运算：
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ - 性质：
a·a = |a|²，a⊥b ⇔ a·b=0
- 定义：
- 应用
- 几何证明：平行、垂直、夹角、长度
- 物理应用：力的分解与合成、功的计算
数列 (必修五)
- 数列的概念与表示
- 通项公式：
aₙ = f(n) - 递推公式：
aₙ₊₁ = f(aₙ) - 前n项和：
Sₙ
- 通项公式：
- 等差数列
- 定义：
aₙ₊₁ - aₙ = d(d为公差) - 通项公式：
aₙ = a₁ + (n-1)d - 前n项和公式：
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2或Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 - 性质：
aₘ + aₙ = aₖ + aₗ(m+n=k+l)
- 定义：
- 等比数列
- 定义：
aₙ₊₁ / aₙ = q(q为公比, q≠0) - 通项公式：
aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹ - 前n项和公式：
q=1时，Sₙ = na₁q≠1时，Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)
- 性质：
aₘ * aₙ = aₖ * aₗ(m+n=k+l)
- 定义：
- 数列的求和
- 公式法：等差、等比数列求和
- 分组求和法
- 裂项相消法：如
1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1) - 错位相减法：等差数列 × 等比数列
- 倒序相加法
不等式 (必修五 & 选修四-5)
- 一元二次不等式
- 解法：结合二次函数图像 (
ax²+bx+c>0) - 与一元二次方程、二次函数的关系
- 解法：结合二次函数图像 (
- 基本不等式
- 公式：
a²+b² ≥ 2ab(当且仅当a=b时取等) - 变形：
(a+b)/2 ≥ √(ab)(均值不等式) - 应用：求最值（“一正二定三相等”）
- 公式：
- 线性规划 (必修五)
- 二元一次不等式组：表示平面区域
- 可行解、最优解
- 图解法：在可行解域内找目标函数的最值
- 柯西不等式 (选修)
- 形式：
(a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)² - 向量形式：
|a·b| ≤ |a||b|
- 形式：
立体几何 (必修二)
- 空间几何体
- 结构特征：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球
- 三视图：正视图、侧视图、俯视图
- 直观图：斜二测画法
- 表面积与体积：
- 侧面积 = 底面周长 × 母线长
- 体积 = 底面积 × 高
- 点、线、面之间的位置关系
- 公理：公理1（确定直线）、公理2（确定平面）、公理3（不共线三点）
- 位置关系：
- 线线：平行、相交、异面
- 线面：平行、相交（线在面内）
- 面面：平行、相交
- 平行与垂直的判定与性质
- 线面平行：判定定理、性质定理
- 面面平行：判定定理、性质定理
- 线面垂直：判定定理、性质定理
- 面面垂直：判定定理、性质定理
- 空间向量及其应用
- 空间直角坐标系
- 空间向量的坐标表示：
a=(x,y,z) - 线性运算：加减、数乘
- 数量积：
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂- 平行：
a = λb(对应坐标成比例) - 垂直：
a·b = 0
- 平行：
- 夹角与距离：
- 线线夹角：
cosθ = |a·b| / (|a||b|) - 线面角：
sinθ = |a·n| / (|a||n|)(n为法向量) - 二面角：
cosφ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)(n₁, n₂为两半平面法向量) - 点到面距离：
d = |a·n| / |n|(a为点与面上任一点构成的向量，n为法向量)
- 线线夹角：
解析几何 (必修二 & 选修一-1/二-1)
- 直线与圆的方程
- 直线的倾斜角与斜率：
k=tanα - 直线方程：
点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式
- 两直线的位置关系：
- 平行：
k₁=k₂(b₁≠b₂) - 垂直：
k₁k₂=-1
- 平行：
- 距离公式：
- 点到点距离
- 点到直线距离
d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²) - 两条平行线间距离
- 圆的方程：
- 标准方程：
(x-a)²+(y-b)²=r² - 一般方程：
x²+y²+Dx+Ey+F=0
- 标准方程：
- 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系：通过圆心到直线距离d与半径r比较
- 直线的倾斜角与斜率：
- 圆锥曲线 (选修)
- 椭圆：
- 定义：到两定点（焦点）距离之和为常数（长轴长）
- 标准方程：
x²/a² + y²/b² = 1(a>b>0) - 几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、准线、离心率 (
e=c/a, 0<e<1)
- 双曲线：
- 定义：到两定点（焦点）距离之差的绝对值为常数（实轴长）
- 标准方程：
x²/a² - y²/b² = 1 - 几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、渐近线、离心率 (
e=c/a, e>1)
- 抛物线：
- 定义：到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹
- 标准方程：
y²=2px等 - 几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、准线、离心率 (
e=1)
- 直线与圆锥曲线的位置关系：
- 联立方程,判别式 判断交点个数
- 弦长公式：
|AB| = √(1+k²) * |x₁-x₂| - 韦达定理：应用在弦长、中点、面积等问题上
- 椭圆：
导数及其应用 (选修二-2)
- 导数的概念
- 瞬时变化率：
f'(x₀) = lim(Δx→0) (Δy/Δx) - 几何意义：切线的斜率
- 物理意义：瞬时速度
- 瞬时变化率：
- 导数的计算
- 基本初等函数的导数公式：
(xⁿ)',(sinx)', (cosx)', (eˣ)', (aˣ)', (lnx)', (logₐx)' - 导数的运算法则：
- 和差积商法则
- 复合函数求导法则（链式法则）
- 基本初等函数的导数公式：
- 导数的应用
- 函数的单调性：
f'(x) > 0=> 增函数；f'(x) < 0=> 减函数 - 函数的极值与最值：
- 求极值步骤：求导数
f'(x)，找f'(x)=0的根，列表判断符号变化 - 求最值：比较极值和端点（或定义域端点）处的函数值
- 求极值步骤：求导数
- 生活中的优化问题：利润最大、用料最省等
- 函数图像的切线方程：
y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀) - 定积分：
- 概念：曲边梯形的面积
- 微积分基本定理：
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)(F是f的一个原函数) - 应用：求面积、体积
- 函数的单调性：
概率与统计 (必修三 & 选修二-3)
- 随机抽样
- 简单随机抽样：抽签法、随机数法
- 系统抽样
- 分层抽样
- 用样本估计总体
- 频率分布表与频率分布直方图：估计总体分布
- 茎叶图
- 数字特征：
- 众数、中位数、平均数：描述集中趋势
- 方差、标准差：描述波动大小 (
s² = 1/n * Σ(xᵢ-x̄)²)
- 古典概型与几何概型
- 古典概型：有限、等可能 (
P(A) = m/n) - 几何概型：无限、等可能 (
P(A) = d的测度 / D的测度)
- 古典概型：有限、等可能 (
- 概率 (必修三 & 选修)
- 事件与概率
- 互斥事件与对立事件
- 条件概率：
P(B|A) = P(AB) / P(A) - 相互独立事件：
P(AB) = P(A)P(B) - 独立重复试验（n次独立试验）：
P(k) = Cₙᵏ pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ(二项分布)
- 随机变量及其分布 (选修)
- 离散型随机变量：分布列、期望
E(X)、方差D(X) - 超几何分布、二项分布
- 正态分布：
N(μ, σ²)，3σ原则
- 离散型随机变量：分布列、期望
