平均数思维导图
中心主题：平均数
一级分支 1：核心概念
- 定义：
- 一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
- 反映了这组数据的“集中趋势”或“一般水平”。
- 通俗理解：“移多补少”后,每个数据都相等的那个数。
- 本质：
- 一个概括性的统计量。
- 用一个数值来描述一组数据的整体情况,便于比较和分析。
总和、个数、相等、水平、代表值
一级分支 2：主要类型
- 算术平均数：
- 最常用的平均数类型。
- 计算公式：
平均数 = 总数 ÷ 总份数(或平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据的个数) - 适用场景：适用于绝大多数数值型数据的分析。
- 加权平均数：
- 概念：在计算平均数时，不同数据（数据值）的重要性（权重）不同。
- 计算公式：
加权平均数 = (数据值1 × 权重1 + 数据值2 × 权重2 + ...) / (权重1 + 权重2 + ...) - 适用场景：
- 计算学期总评成绩（平时分、期中、期末权重不同）。
- 计算商品的平均价格（不同价格的商品销量不同）。
- 计算员工的平均工资（不同级别员工人数不同）。
- 其他平均数（拓展）：
- 几何平均数：用于计算比率、平均增长率等。
- 调和平均数：用于计算平均速率、平均价格等特定场景。
一级分支 3：计算方法
- 算术平均数计算：
- 步骤1：将所有数据相加，求出总和。
- 步骤2：数出数据的个数（总份数）。
- 步骤3：用总和除以个数,得到平均数。
- 加权平均数计算：
- 步骤1：将每个数据值与其对应的权重相乘。
- 步骤2：将所有乘积相加,求出加权和。
- 步骤3：将所有权重相加,求出总权重。
- 步骤4：用加权和除以总权重,得到加权平均数。
一级分支 4：特性与优缺点
- 优点：
- 充分利用数据：使用了组中所有的数据信息。
- 灵敏度高：任何一个数据的变化都会影响平均数的大小。
- 便于代数运算：数学性质良好,是统计学中最重要的集中趋势度量。
- 缺点：
- 易受极端值影响：这是平均数最大的弱点。
- 示例：在计算居民收入时，少数几个富豪的收入会极大地拉高平均数，导致它不能真实反映“普通居民”的收入水平。
- 可能不是实际存在的数据：平均数不一定是原始数据中的一个数。
- 示例：小组5人身高分别为160, 161, 162, 163, 164 cm，平均身高为162 cm，这个值是存在的，但如果身高为160, 160, 162, 164, 164 cm，平均身高为162 cm，这个值也是存在的，但如果为160, 161, 163, 164, 172 cm，平均身高为164 cm,这个值在原始数据中就不存在。
- 易受极端值影响：这是平均数最大的弱点。
一级分支 5：实际应用
- 日常生活：
- 成绩分析：计算考试平均分,评估班级整体水平。
- 财务预算：计算月平均支出、平均收入,进行理财规划。
- 健康管理：计算平均步数、平均睡眠时长,监测健康状况。
- 购物决策：比较不同品牌商品的用户评分（通常是平均分）。
- 商业与经济：
- 业绩评估：计算销售人员的平均销售额、员工的平均工资。
- 市场分析：计算产品的平均价格、用户的平均年龄。
- 股市分析：计算股票的平均价格、指数的平均点位。
- 科学研究：
- 实验数据：计算多次测量结果的平均值,以减少随机误差。
- 社会调查：计算调查问卷中各项指标的平均得分,分析公众意见。
一级分支 6：平均数 vs. 中位数 vs. 众数
- 共同点：
- 都是描述数据集中趋势的统计量。
- 不同点：
- 平均数：
- 计算：所有数据求和后除以个数。
- 特点：充分利用数据,但易受极端值影响。
- 适用：数据分布比较“对称”,没有极端值时。
- 中位数：
- 定义：将数据按大小顺序排列,位于最中间位置的数。
- 特点：不受极端值影响,稳定性好。
- 适用：数据分布偏斜（有极端值）或数据类型为顺序数据时。
- 示例：计算居民收入中位数,比平均数更能反映普通人的收入。
- 众数：
- 定义：一组数据中出现次数最多的数。
- 特点：计算简单，不受极端值影响，但可能不存在,或不唯一。
- 适用：分类数据（如颜色、品牌）或需要找出“最受欢迎”选项时。
- 示例：调查鞋子的尺码,众数就是卖得最多的那个尺号。
- 平均数：
一级分支 7：典型例题
- 例题1：基础计算（算术平均数）
- 问题：小明四次数学测验的成绩分别是85分、90分、88分、92分,他的平均成绩是多少？
- 解析：(85 + 90 + 88 + 92) ÷ 4 = 355 ÷ 4 = 88.75分。
- 小明的平均成绩是88.75分。
- 例题2：应用题（加权平均数）
- 问题：一门课程的总评成绩由平时成绩（占30%）、期中考试（占30%）和期末考试（占40%）构成，小明的这三项成绩分别是90分、85分、95分,他的总评成绩是多少？
- 解析：(90 × 30% + 85 × 30% + 95 × 40%) ÷ (30% + 30% + 40%) = (27 + 25.5 + 38) ÷ 1 = 90.5分。
- 小明的总评成绩是90.5分。
- 例题3：对比分析（极端值影响）
- 问题：一个公司有10名员工，9名员工月薪5000元，1名CEO月薪500000元，请计算这个公司员工的平均月薪和中位数月薪,并解释哪个更能代表普通员工的收入水平。
- 解析：
- 平均数：(9 × 5000 + 1 × 500000) ÷ 10 = (45000 + 500000) ÷ 10 = 545000 ÷ 10 = 54500元。
- 中位数：将10个工资按顺序排列，第5和第6个都是5000元，所以中位数是 5000元。
- 中位数（5000元）更能代表普通员工的收入水平，因为平均数（54500元）被CEO的高薪严重拉高了,不具有代表性。
