机械振动 思维导图
中心主题：机械振动
基本概念
- 定义
- 物体（或物体的一部分）在某一中心位置附近做往复运动。
- 核心特征：周期性 和 往复性。
- 核心物理量
- 振幅
- 定义：物体偏离平衡位置的最大距离。
- 符号：
A - 物理意义：振动强弱（能量）的量度。
- 周期
- 定义：物体完成一次全振动所需的时间。
- 符号：
T - 单位：秒。
- 频率
- 定义：物体在单位时间内完成全振动的次数。
- 符号：
f或 - 单位：赫兹。
- 关系：
f = 1 / T
- 角频率 (圆频率)
- 定义：
2π秒内完成的振动次数。 - 符号：
- 单位：弧度/秒。
- 关系：
ω = 2πf = 2π / T
- 定义：
- 相位
- 定义：描述振动物体在任意时刻运动状态的物理量。
- 表达式：
φ = ωt + φ₀( 是初相位) - 物理意义：决定物体在
t时刻的位置和速度。
- 振幅
- 振动图像
x-t图像：位移随时间变化的曲线。- 形状：正弦或余弦曲线。
- 斜率：代表该时刻的瞬时速度。
振动的分类
- 按振动规律分类
- 简谐振动
- 定义：最简单、最基本的振动，回复力大小与位移成正比,方向与位移相反。
- 特征：
F = -kx(胡克定律) - 运动方程：
x = A cos(ωt + φ₀) - 能量：动能和势能相互转换，总机械能守恒 (
E = ½kA²)。
- 非简谐振动
- 定义：不满足
F = -kx关系的振动。 - 例子：阻尼振动、受迫振动、单摆的大角度摆动。
- 定义：不满足
- 简谐振动
- 按阻尼情况分类
- 无阻尼振动
- 定义：系统不受任何阻力,振幅保持不变的振动。
- 现实中：理想模型,实际不存在。
- 有阻尼振动
- 定义：系统受到阻力（如摩擦力、空气阻力）,振幅随时间减小的振动。
- 阻尼类型：
- 欠阻尼：振幅缓慢减小,系统会振动很多次。
- 临界阻尼：振幅最快回到平衡位置且不振动。
- 过阻尼：系统极其缓慢地回到平衡位置,不振动。
- 无阻尼振动
- 按激励情况分类
- 自由振动
- 定义：系统在初始扰动后,仅依靠自身弹性恢复力维持的振动。
- 特点：振动频率由系统自身性质（质量、刚度）决定，称为固有频率。
- 受迫振动
- 定义：系统在周期性外力（策动力）作用下进行的振动。
- 特点：振动频率等于策动力的频率。
- 共振
- 定义：当策动力的频率等于或接近系统的固有频率时,受迫振动的振幅达到最大值的现象。
- 条件：
f_策动力 ≈ f_固有 - 应用：有利（音箱、核磁共振）、有害（桥梁、建筑倒塌）。
- 自由振动
分析方法
- 微分方程法
- 核心思想：根据牛顿第二定律
F = ma建立运动微分方程。 - 步骤：
- 确定研究对象和平衡位置。
- 对物体进行受力分析。
- 建立坐标系，写出回复力
F = -kx。 - 代入
F = ma = m(d²x/dt²),得到二阶常系数线性微分方程。 - 求解微分方程，得到振动方程
x(t)。
- 核心思想：根据牛顿第二定律
- 能量法
- 核心思想：机械能守恒定律。
- 适用：对于回复力不是简单线性力（如
-kx）的保守系统。 - 步骤：
- 确定系统的动能
T和势能V。 - 根据机械能守恒
T + V = E = 常数。 - 对时间求导,得到运动微分方程。
- 确定系统的动能
- 矢量图解法
- 核心思想：用一个旋转矢量（振幅矢量）来表示简谐振动。
- 应用：
- 直观地理解相位、初相位。
- 简化同方向、同频率简谐振动的合成。
- 表示：
- 矢量长度 = 振幅
A。 - 矢量与参考轴的夹角 = 相位
ωt + φ₀。 - 矢量末端在参考轴上的投影 = 位移
x。
- 矢量长度 = 振幅
振动的合成
- 同方向、同频率简谐振动的合成
- 结果：仍为一个同频率的简谐振动。
- 合振幅：
A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(Δφ)) - 合初相位：
tanφ₀ = (A₁sinφ₁ + A₂sinφ₂) / (A₁cosφ₁ + A₂cosφ₂) - 特例：
- 相位差
Δφ = 2kπ(k为整数)：同相，合振幅最大A = A₁ + A₂。 - 相位差
Δφ = (2k+1)π(k为整数)：反相，合振幅最小A = |A₁ - A₂|。
- 相位差
- 同方向、不同频率简谐振动的合成
- 结果：一般不再是简谐振动,而是复杂的周期性运动。
- 拍现象：
- 条件：两频率相近 (
|ω₁ - ω₂| << ω₁, ω₂)。 - 特点：合振动的振幅随时间周期性变化，产生“忽强忽弱”的效果。
- 拍频：
f_拍 = |f₁ - f₂|
- 条件：两频率相近 (
- 相互垂直、同频率简谐振动的合成
- 结果：质点的运动轨迹为一个椭圆（特殊情况为直线或圆）。
- 轨迹方程由两个方向的振动方程联立消去
t得到。 - 特例：
- 两分振动同相或反相：轨迹为直线。
- 两分振动振幅相等，相位差
π/2：轨迹为圆。
工程应用与危害
- 有应用
- 振动利用：
- 振动筛：筛选物料。
- 振动输送机：输送物料。
- 混凝土振捣器：排出气泡,使混凝土密实。
- 超声波清洗：利用高频振动去除污垢。
- 振动按摩：缓解肌肉疲劳。
- 音箱/耳机：振动发声。
- 振动利用：
- 有危害
- 振动危害：
- 结构疲劳与破坏：长期振动导致材料疲劳，引发裂纹甚至断裂（如飞机、桥梁、建筑）。
- 设备精度下降：影响精密仪器、机床的加工精度。
- 人体损伤：长期暴露在振动环境中可能导致“白手病”、内脏损伤等。
- 噪声污染：振动是噪声的主要来源之一。
- 振动危害：
- 振动控制
- 目的：减小或抑制有害振动。
- 方法：
- 减振：减小振源的振动输出。
- 隔振：在振源与被保护对象之间安装弹性元件（如弹簧、橡胶垫）,传递振动。
- 吸振：附加一个动力吸振器,产生反向力来抵消原振动。
- 阻振：增加阻尼，将振动能量转化为热能耗散掉（如阻尼器）。
