初中数学《因式分解》思维导图
中心主题：因式分解
基础概念 (是什么？)
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定义
- 把一个多项式化为几个整式的积的形式。
- 核心思想：和 → 积 的转化。
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与整式乘法的关系
- 互为逆运算。
整式乘法：(a+b)(a-b) = a² - b²因式分解：a² - b² = (a+b)(a-b)- 检验方法：将因式分解的结果再进行整式乘法,看是否能得到原多项式。
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因式分解的目的/意义
- 简化计算。
- 解一元二次方程（后续学习）。
- 代数式化简与求值。
- 证明等式或不等式。
核心方法 (怎么做？)
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提公因式法 (最基础、最常用)
- 步骤：
- 找公因式：系数（取最大公约数）、字母（取各项都含有的字母）、指数（取相同字母的最低次幂）。
- 提取公因式：将公因式提到括号外面。
- 确定括号内的项：用原多项式的每一项除以公因式,得到括号内的多项式。
- 关键：如果某项恰好是公因式，提取后括号内对应项为 1 (而不是 0)。
例：ab² - 2ab = ab(b - 2)(不是ab(b - 2 - 0))
- 步骤：
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公式法 (核心公式)
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前提：多项式必须具备公式的结构特征。
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(1) 平方差公式
- 结构：
a² - b²(两项，异号,且都是完全平方式) - 结果：
(a + b)(a - b) - 口诀：“平方差，异号和差相乘”。
- 例：
x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)
- 结构：
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(2) 完全平方公式
- 结构：
a² ± 2ab + b²(三项，首尾两项是平方项，中间项是首尾两项乘积的±2倍) - 结果：
a² + 2ab + b² = (a + b)²a² - 2ab + b² = (a - b)²
- 口诀：“首平方，尾平方，两倍乘积在中央，符号看前方”。
- 例：
4x² + 4xy + y² = (2x)² + 2(2x)(y) + y² = (2x + y)²
- 结构：
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十字相乘法 (二次三项式专用)
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适用：
x² + px + q或ax² + bx + c (a≠1)形式的多项式。 -
(1) x² + px + q 型
- 结构：二次项系数为1。
- 方法：找到两个数
m和n，使得m * n = q，且m + n = p。 - 结果：
(x + m)(x + n) - 例：
x² + 5x + 6，找m=2, n=3(因为 2*3=6, 2+3=5)，(x+2)(x+3)。
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(2) ax² + bx + c (a≠1) 型
- 结构：二次项系数不为1。
- 方法：“交叉相乘，凑出中间项”。
- 将
a分解为m₁ * m₂，将c分解为n₁ * n₂。 - 按
m₁和n₂、m₂和n₁交叉相乘，使m₁n₂ + m₂n₁ = b。 m₁ --- n₁m₂ --- n₂m₁n₂ + m₂n₁ = b
- 将
- 结果：
(m₁x + n₁)(m₂x + n₂) - 例：
2x² + 7x + 3，分解为(2x+1)(x+3)。2 --- 11 --- 32*3 + 1*1 = 7
-
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分组分解法 (多项式项数较多时)
- 适用：四项或四项以上的多项式。
- 方法：将多项式分成若干组，分别对每组进行因式分解,然后再提取各组间的公因式。
- 关键：分组后，每组内部可以继续分解，并且分解后，组与组之间有新的公因式。
- 两种常见分组：
- 二二分组：
(am + an) + (bm + bn) = a(m+n) + b(m+n) = (a+b)(m+n) - 三一分组：将能构成公式的三项分为一组，剩下的一项为另一组。
例：a² - 2ab + b² - c² = (a² - 2ab + b²) - c² = (a-b)² - c² = (a-b+c)(a-b-c)
- 二二分组：
综合应用与技巧 (怎么用？)
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因式分解的一般步骤
- 提公因式：首先看是否有公因式,有则先提取。
- 套公式：看是否符合平方差或完全平方公式。
- 十字相乘：如果是二次三项式,尝试十字相乘法。
- 分组分解：如果以上方法都不行，且项数较多,尝试分组分解。
- 检查：直到每个因式都不能再分解为止。
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特殊结构的多项式
- 三项平方和/差：
a² + b² ± ab或a² + b² + c² ± 2ab ± 2bc ± 2ac，需先配方再分解。例：x² + 2xy + 3y² = (x² + 2xy + y²) + 2y² = (x+y)² + (√2y)²(在实数范围内无法分解)
- 立方和/差公式 (拓展，部分地区会学)：
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
- 三项平方和/差：
易错点与注意事项 (避坑指南)
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概念不清
- 错误：
x² - 4 + xy = (x+2)(x-2) + xy(这不是因式分解,没有化为积的形式) - 正确：如果无法继续分解,就保持原样。
- 错误：
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漏项
- 错误：
2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)(漏掉了y) - 正确：
2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)
- 错误：
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符号错误
- 错误：
-x² + 4x - 4 = -(x² - 4x + 4) = -(x-2)²(正确) - 错误：
-x² + 4x - 4 = -(x² + 4x - 4)(符号全部弄错) - 正确：提取负号时，括号内每一项都要变号。
- 错误：
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未分解彻底
- 错误：
x⁴ - 16 = (x² + 4)(x² - 4)(没有分解完) - 正确：
x⁴ - 16 = (x² + 4)(x + 2)(x - 2)
- 错误：
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公式结构判断错误
- 错误：
x² + 4x + 9(误用完全平方公式，因为2² ≠ 4*9) - 正确：此式在实数范围内无法因式分解。
- 错误：
