数学知识体系全景思维导图

中心主题：数学

• 核心思想: 逻辑、结构、模式、数量、空间、变化。

一级分支 1：算术

• 核心: 数的基本运算和性质。
• 二级分支:
  • 数与数位:
    • 自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数
    • 数位、计数制 (十进制、二进制等)
  • 基本运算:
    • 加法、减法、乘法、除法
    • 运算定律 (交换律、结合律、分配律)
  • 分数与小数:
    • 分数的加减乘除
    • 小数的加减乘除
    • 分数与小数的互化
  • 百分比与比例:
    • 百分比的意义与计算
    • 比例、正比例、反比例
  • 估算与巧算:
    • 四舍五入、凑整法
    • 运算定律的灵活运用

一级分支 2：代数

• 核心: 使用字母和符号表示数，研究数量关系。
• 二级分支:
  • 基础概念:
    • 字母表示数、代数式
    • 变量、常量、系数、项
  • 方程:
    • 一元一次方程、二元一次方程组
    • 一元二次方程 (求根公式、韦达定理)
    • 分式方程、无理方程
    • 方程的应用 (行程、工程、浓度等)
  • 不等式:
    • 一元一次不等式、一元一次不等式组
    • 不等式的性质
  • 函数:
    • 一次函数、反比例函数
    • 二次函数 (图像、顶点、对称轴)
    • 指数函数、对数函数、幂函数
    • 函数的单调性、奇偶性、周期性
  • 代数结构 (高等代数):

    集合、群、环、域、向量空间

    

一级分支 3：几何

• 核心: 研究空间形状、大小、位置关系。
• 二级分支:
  • 平面几何:
    • 点、线、面: 基本概念、公理、定理
    • 三角形: 分类、性质、全等、相似
    • 四边形: 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
    • 圆: 性质、切线、弦、弧、圆周角
    • 面积与周长: 各类图形的计算公式
  • 立体几何:
    • 空间几何体: 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球
    • 三视图: 正视图、侧视图、俯视图
    • 表面积与体积: 计算公式
    • 点、线、面位置关系: 异面直线、线面平行与垂直、面面平行与垂直
  • 解析几何:
    • 直角坐标系、距离公式、中点公式
    • 直线方程 (点斜式、斜截式、一般式)
    • 圆的方程
    • 圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线)
  • 其他几何分支:
    • 三角学 (正弦、余弦、正切定理)
    • 向量几何 (向量的加减、数乘、点积、叉积)
    • 解析几何

一级分支 4：分析学 / 微积分

• 核心: 研究极限、导数、积分，描述变化率。
• 二级分支:
  • 预备知识:

    集合论、逻辑、实数理论

  • 极限与连续:
    • 数列极限、函数极限
    • 极限的运算法则、两个重要极限
    • 函数的连续性
  • 微分学:
    • 导数的定义与几何意义
    • 基本初等函数求导法则
    • 导数的应用 (求切线、单调性、极值、最值)
  • 积分学:
    • 不定积分 (原函数、基本积分公式)
    • 定积分 (定义、牛顿-莱布尼茨公式)
    • 定积分的应用 (求面积、体积)
  • 级数:
    • 数项级数、函数项级数
    • 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数
  • 多元微积分:
    • 多元函数、偏导数、全微分
    • 重积分、曲线积分、曲面积分

一级分支 5：概率论与数理统计

• 核心: 研究随机现象的规律性，进行数据收集与分析。
• 二级分支:
  • 概率论基础:
    • 随机事件、样本空间、概率
    • 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
    • 随机变量: 离散型、连续型
    • 概率分布: 二项分布、泊松分布、正态分布
    • 数字特征: 期望、方差、标准差
  • 数理统计:
    • 数据的收集与整理 (抽样)
    • 描述性统计: 均值、中位数、众数、方差、标准差
    • 参数估计: 点估计、区间估计
    • 假设检验: t检验、卡方检验
    • 回归分析: 线性回归

一级分支 6：离散数学

• 核心: 研究离散结构和对象，是计算机科学的基础。
• 二级分支:
  • 数理逻辑:
    • 命题逻辑、谓词逻辑
    • 证明方法 (直接、反证、归纳)
  • 集合论:
    • 集合的运算、关系、函数
    • 基数、无穷集
  • 图论:
    • 图的基本概念 (点、边、度、路径、回路)
    • 特殊图 (树、二部图、平面图)
    • 图的算法 (最短路径、最小生成树)
  • 组合数学:
    • 排列、组合、容斥原理
    • 递推关系、生成函数

一级分支 7：应用数学

• 核心: 将数学理论应用于其他学科领域。
• 二级分支:
  • 数值分析:
    • 数值逼近、数值积分与微分
    • 解线性方程组和非线性方程组
  • 运筹学:
    • 线性规划、整数规划、动态规划
    • 图与网络优化、排队论
  • 微分方程:
    • 常微分方程、偏微分方程
    • 在物理、工程、生物中的应用
  • 金融数学:

    利息理论、期权定价模型

  • 密码学:

    数论在加密算法中的应用 (如RSA)

如何使用这份思维导图

1. 建立全局观: 这张图是数学世界的“地图”，在学习新知识前，先看看它属于哪个分支，这样能帮助你理解知识的定位和联系。
2. 检查知识盲点: 对照这张图，看看哪些分支是你完全不熟悉的，哪些是你了解但不够深入的，这可以作为你后续学习的重点。
3. 梳理知识脉络: 在每个分支下，你可以继续添加更细的节点，在“二次函数”下，可以添加“顶点式”、“交点式”、“对称轴”等。
4. 发现联系: 数学各分支之间是相互关联的。
   • 代数是几何的“语言”（解析几何）。
   • 极限是微积分的基石。
   • 线性代数（向量空间）是多元微积分的基础。
   • 概率论需要微积分来计算连续型随机变量的分布。
5. 个性化定制: 你可以根据自己的学习阶段和兴趣，修改、删减或扩充这张图，如果你是高中生，可以重点突出“算术”、“代数”、“几何”、“概率统计”和“导数初步”；如果你是大学生，则需要深入学习“分析学”、“高等代数”、“离散数学”等。

希望这份思维导图能成为你学习数学的得力助手！