数学几何思维导图
中心主题：数学几何
一级分支：核心分支
- 经典几何
- 解析几何
- 微分几何
- 拓扑学
- 非欧几里得几何
二级及以下分支详解
经典几何
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欧几里得几何
- 研究对象： 平面和空间中的点、线、面、体。
- 公理体系： 基于欧几里得《几何原本》的五大公设。
- 核心分支：
- 平面几何:
- 基本元素： 点、线、射线、线段、角。
- 基本图形：
- 三角形 (等边、等腰、直角、锐角、钝角)
- 四边形 (平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形)
- 圆 (弦、弧、圆心角、圆周角)
- 核心定理：
- 三角形： 内角和定理、勾股定理、相似与全等判定定理、正弦定理、余弦定理。
- 圆： 垂径定理、圆周角定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理。
- 变换： 平移、旋转、轴对称、位似。
- 立体几何:
- 基本元素： 点、线、面。
- 空间位置关系：
- 线线关系 (平行、相交、异面)
- 线面关系 (平行、相交、垂直)
- 面面关系 (平行、相交、垂直)
- 空间几何体：
- 多面体： 棱柱、棱锥、棱台。
- 旋转体： 圆柱、圆锥、圆台、球。
- 核心度量：
- 面积： 侧面积、表面积。
- 体积： 体积公式。
- 空间角： 线线角、线面角、二面角。
- 距离： 点线距离、点面距离、线线距离。
- 平面几何:
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画法几何
- 核心方法： 正投影法。
- 投影类型：
- 中心投影： 透视投影 (如绘画、摄影)。
- 平行投影：
- 正投影 (三视图：主视图、俯视图、左视图)。
- 斜投影。
- 应用： 工程制图、建筑设计、计算机图形学。
解析几何
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平面解析几何
- 核心思想： 用代数方法研究几何问题。
- 坐标系： 笛卡尔坐标系。
- 研究对象：
- 直线： 斜率、截距、点斜式、两点式、一般式、两条直线的位置关系。
- 圆： 标准方程、一般方程。
- 圆锥曲线:
- 椭圆 (定义、标准方程、几何性质：焦点、准线、离心率)
- 双曲线 (定义、标准方程、几何性质：焦点、准线、渐近线、离心率)
- 抛物线 (定义、标准方程、几何性质：焦点、准线、离心率)
- 参数方程与极坐标：
- 参数方程 (如圆、椭圆的参数方程)。
- 极坐标与直角坐标的互化。
- 极坐标方程 (如直线、圆、圆锥曲线的极坐标方程)。
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空间解析几何
- 坐标系： 空间直角坐标系。
- 研究对象：
- 向量： 向量运算、数量积、向量积、混合积。
- 空间直线： 方向向量、参数方程、对称式方程、一般式方程。
- 空间平面： 法向量、点法式方程、一般式方程。
- 二次曲面：
球面、椭球面、单叶/双叶双曲面、椭圆/双曲抛物面、二次柱面。
- 空间曲线： 一般方程、参数方程。
微分几何
- 核心思想： 用微积分和分析学的方法研究曲线和曲面。
- 研究对象：
- 曲线论：
- 参数曲线、弧长、切向量、曲率、挠率。
- Frenet 标架。
- 曲面论：
- 参数曲面、第一基本形式 (度量)、第二基本形式 (弯曲)。
- 曲面的曲率：法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率。
- 核心概念： 流形、切空间、外微分、测地线。
- 曲线论：
- 应用： 广义相对论、计算机视觉、机器人学。
拓扑学
- 核心思想： 研究在连续变形（拉伸、扭曲，但不能撕裂或粘合）下保持不变的性质。
- 核心概念：
- 拓扑空间： 开集、邻域、连续性。
- 不变量：
- 连通性： 道路连通性。
- 紧致性： 有限覆盖性质。
- 同伦： 连续变形的等价类。
- 同调： “洞”的个数和维度。
- 基本群： 描述空间中“环”的缠绕方式。
- 研究对象： 拓扑空间、流形。
- 应用： 数据分析、物理学（弦理论）、DNA结构研究。
非欧几里得几何
- 核心思想： 否定或修改欧几里得几何的第五公设（平行公设）。
- 主要分支：
- 罗巴切夫斯基几何 (双曲几何)
- 公设： 过直线外一点,至少可以做两条直线与已知直线平行。
- 性质： 三角形内角和小于180°，空间是“负曲率”的（马鞍面）。
- 黎曼几何 (椭圆几何)
- 公设： 不存在平行线,任何两条直线都相交。
- 性质： 三角形内角和大于180°，空间是“正曲率”的（球面）。
- 罗巴切夫斯基几何 (双曲几何)
- 应用： 爱因斯坦的广义相对论（黎曼几何是描述时空的数学工具）。
思维导图的核心联系与总结
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从具体到抽象： 思维导图从最直观的经典几何开始，逐步过渡到更抽象的解析几何、微分几何和拓扑学，每一步都是将几何问题从“形”的研究转向“数”或“结构”的研究。
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工具的演进：
- 公理法 (经典几何): 从少数不证自明的公理出发,通过逻辑推理构建整个体系。
- 坐标法 (解析几何): 引入坐标系，将几何问题转化为代数方程问题,使计算成为可能。
- 分析法 (微分几何): 引入微积分,研究曲线和曲率的局部性质。
- 结构法 (拓扑学): 忽略具体的度量,只关心空间的连续性和连通性等宏观结构。
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“平行线”的演变： 欧氏几何、双曲几何和椭圆几何这三种非欧几何，其核心区别在于对“平行线”这一基本概念的不同定义,这导致了整个几何体系的巨大差异。
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应用驱动： 几何的发展并非纯粹为了理论。画法几何服务于工程，解析几何是物理和工程的基础，微分几何是现代物理学的语言，拓扑学则在数据科学和生物学中找到了新的应用。
这份思维导图希望能帮助你构建一个清晰、完整的几何知识框架，你可以根据自己的学习阶段,深入探索其中的任何一个分支。
