七上数学第一单元思维导图如何高效构建？-益智教育网

七年级上册数学第一单元：有理数思维导图

中心主题：有理数

（图片来源网络，侵删）

第一分支：有理数的概念
- 1 正数和负数
  - 正数: 大于 0 的数 (如: +5, 3.14, ½)
  - 负数: 小于 0 的数 (如: -3, -2.5, -¾)
  - 0: 既不是正数，也不是负数,是正负数的分界点。
  - 应用: 表示具有相反意义的量 (如: 零上温度/零下温度, 收入/支出, 海拔以上/海拔以下)。
- 2 有理数
  - 定义: 整数和分数统称为有理数。
  - 分类 (两种方式):
    - 按定义分:
      有理数 — { 整数 (正整数、0、负整数), 分数 (正分数、负分数) }
    - 按性质符号分:
      有理数 — { 正有理数 (正整数、正分数), 零, 负有理数 (负整数、负分数) }
第二分支：数轴
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- 定义: 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 三要素:
  - 原点: 数轴上表示 0 的点。
  - 正方向: 通常向右为正方向。
  - 单位长度: 相邻两个整数点之间的长度。
- 作用:
  - 数形结合: 直观地表示每一个有理数。
  - 比较大小: 数轴上右边的数总比左边的数大。
  - 绝对值: 一个数的绝对值就是它到原点的距离。
第三分支：相反数与绝对值
- 1 相反数
  - 定义: 只有符号不同的两个数互为相反数 (如: 5 和 -5)。
  - 特点:
    - 0 的相反数是 0。
    - 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离相等。
- 2 绝对值
  - 定义: 一个数的绝对值是它在数轴上对应的点到原点的距离。
  - 表示: |a|
  - 计算法则:
    - a > 0，|a| = a
    - a = 0，|a| = 0
    - a < 0，|a| = -a (a 的相反数)
  - 性质: 绝对值是非负数，即 |a| ≥ 0。
第四分支：有理数的大小比较
- 法则:
  - 正数 > 0 > 负数
  - 两个正数: 绝对值大的数大。
  - 两个负数: 绝对值大的数反而小。
- 数轴法: 在数轴上,右边的数总比左边的数大。
第五分支：有理数的运算
- 1 加法
  - 同号相加: 取相同的符号，并把绝对值相加。
    - (+5) + (+3) = +8
    - (-5) + (-3) = -8
  - 异号相加: 取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    - (+5) + (-3) = +2
    - (-5) + (+3) = -2
  - 与 0 相加: a + 0 = a
  - 互为相反数的两数相加: a + (-a) = 0
- 2 减法
  - 法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
    a - b = a + (-b)
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  - 例: 7 - 9 = 7 + (-9) = -2
- 3 乘法
  - 符号法则:
    - 两数相乘，同号得正,异号得负。
    - 任何数与 0 相乘，都得 0。
  - 绝对值法则: 两数相乘，把绝对值相乘。
    - (-4) × 5 = -(4×5) = -20
    - (-4) × (-5) = +(4×5) = 20
  - 多个数相乘:
    - 负因数的个数是奇数时,积为负。
    - 负因数的个数是偶数时,积为正。
- 4 除法
  - 法则: 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。
    a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
  - 符号法则: 两数相除，同号得正,异号得负。
  - 0 除以任何非 0 的数都得 0。
- 5 乘方
  - 定义: 求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，记作 aⁿ。
    - a — 底数
    - n — 指数
    - aⁿ — 幂
  - 符号法则:
    - 正数的任何次幂都是正数。
    - 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
    - 0 的任何正整数次幂都是 0。
  - 注意: (-2)³ = -8 (底数是 -2)，-2³ = -8 (底数是 2)。
第六分支：运算律与混合运算
- 1 运算律
  - 加法交换律: a + b = b + a
  - 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
  - 乘法交换律: a × b = b × a
  - 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
  - 乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c
- 2 混合运算顺序 (运算顺序)
  1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
  2. 同级运算，从左到右依次计算。
  3. 如果有括号，先算小括号，再算中括号 [ ]，最后算大括号。