初中数学思维训练教案-益智教育网

初中数学思维训练教案

课题名称： 从“点”到“形”——探索数与形的奇妙结合

授课对象： 初中一至三年级学生（可根据学生水平调整问题难度）

课时安排： 1课时（45分钟）

教学目标：

知识与技能：
- 引导学生发现某些代数问题与几何图形之间的内在联系。
- 学习运用“数形结合”的思想方法分析和解决问题。
- 掌握从特殊到一般,从简单到复杂的归纳推理方法。
过程与方法：
- 通过观察、动手操作、小组讨论等方式，经历发现问题、提出猜想、验证猜想、得出结论的思维过程。
- 培养学生的逻辑思维能力、创新意识和合作探究精神。
情感态度与价值观：
- 让学生感受数学的简洁美与和谐美,激发学习数学的兴趣。
- 体验数学思维的乐趣和成就感,建立学好数学的自信心。

教学重难点：

教学重点： 引导学生理解并运用“数形结合”的思想，将抽象的数字关系转化为直观的几何图形。
教学难点： 如何启发学生自主发现数与形之间的联系，并构建合适的几何模型来解决问题。

教学方法：

启发式教学法、探究式学习法、小组合作法

教学准备：

教师：PPT课件、黑板、粉笔。
学生：草稿纸、笔、剪刀（可选，用于动手拼剪）、若干个相同的小正方形卡片（可选）。

教学过程

情境导入，激发兴趣 (约5分钟)

教师活动：

提问引入： “同学们，我们先来算一道简单的计算题：1 + 3 + 5 = ?”
（学生迅速回答：9）
追问深化： “非常好！那如果再加一个奇数呢？1 + 3 + 5 + 7 = ?”
（学生回答：16）
揭示课题： “大家算得又快又准，如果我们继续加下去，1 + 3 + 5 + ... + 19，你们还会这样一项一项地加吗？有没有更巧妙的方法？”
（学生可能会思考，但暂时没有头绪）
引导观察： “我们把这些结果写下来，看看能不能发现什么规律。”
- 在黑板上写下：
  - 1 = 1 = 1²
  - 1 + 3 = 4 = 2²
  - 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
  - 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
- “同学们，请仔细观察左边的加数和右边的结果，你们有什么惊人的发现吗？”
- （引导学生发现：从1开始的n个连续奇数的和，等于n的平方。）

设计意图： 从学生熟悉的简单计算入手，通过递进式提问，制造认知冲突，激发学生的好奇心和探究欲，初步的观察和猜想为后续的深度探究埋下伏笔。

探究新知，数形结合 (约20分钟)

教师活动：

提出核心问题： “刚才我们通过计算和观察，得到了一个猜想：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²，这个结论是巧合，还是普遍规律呢？我们如何证明它？”
（引导学生思考代数证明方法，如等差数列求和公式，但本课重点不在此。）
切换思路，引入图形： “数学家们常说，‘数缺形时少直观，形少数时难入微’，我们能不能从‘形’的角度来理解这个等式呢？左边的‘和’，右边的‘平方’，在图形上可能代表什么？”
（给学生1-2分钟独立思考，然后小组讨论）
引导构建图形模型：
- 第一步（解释1）： “1可以看作什么？” （引导学生想到：一个边长为1的小正方形。）
- 第二步（解释1+3）： “现在要加上3，我们可以在第一个小正方形周围‘拼’上3个小正方形，会形成什么图形？” （教师在黑板上或用PPT演示，拼成一个边长为2的大正方形。）
- 第三步（解释1+3+5）： “接下来再加5，我们在这个边长为2的正方形外面，再‘拼’上5个小正方形，又会形成什么？” （演示拼成一个边长为3的大正方形。）
- 第四步（归纳猜想）： “通过这个拼图的过程，大家现在能理解为什么1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)会等于n²了吗？”
- 学生回答并总结： “因为每一次增加的奇数个点（或小正方形），恰好能围成一个更大的正方形，这个大正方形的边长正好是加数的个数，从1开始的n个连续奇数的和，就构成了一个边长为n的大正方形，其面积就是n²。”
- （教师用PPT动态展示整个拼图过程，强化直观感受。）

初中数学思维训练教案-图1

设计意图： 这是本课的核心环节，教师通过层层递进的引导，将抽象的数字求和问题，转化为直观的几何图形拼接问题，让学生亲手“拼”出规律，深刻体会“数形结合”思想的魅力，实现从具体到抽象的认知飞跃。

学以致用，拓展延伸 (约12分钟)

教师活动：

基础应用：
- “你能快速算出 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 的和吗？你是怎么想的？”
- （学生回答：36，因为有6个奇数，所以结果是6²=36。）
- “那 1 + 3 + 5 + ... + 99 呢？”
- （引导学生思考：这是第几个奇数？(99+1)/2 = 50个，所以结果是50²=2500。）
思维拓展（进阶挑战）：
- 问题1（偶数求和）： “我们解决了连续奇数的和，那从2开始的连续偶数的和，2 + 4 + 6 + ... + 2n，又有什么规律呢？它能不能也用一个图形来表示？”
  （引导学生思考：可以看作2个(1+2+3+...+n)，或者用长方形来拼接，比如2+4+6，可以拼成一个2x3的长方形。）
- 问题2（平方差公式）： “我们知道了n²，那n² - (n-1)²等于多少？用我们的图形怎么解释？”
  - （学生用图形解释：从大正方形n²中，去掉一个小正方形(n-1)²，剩下的部分是一个‘L’形，这个‘L’形由2n-1个小正方形组成，所以n² - (n-1)² = 2n-1，这恰好就是我们的第一个等式！）
  - （这个环节可以展示数学各知识点之间的内在联系，形成知识网络。）

设计意图： 通过不同层次的练习，检验学生对“数形结合”思想的理解和运用程度，从基础应用到拓展挑战，满足不同层次学生的需求，并进一步深化对数学思想方法的认识。

课堂小结，提炼升华 (约3分钟)

教师活动：

回顾总结： “同学们，今天这节课我们研究了什么问题？我们用了什么奇妙的方法来解决这个问题？”
提炼思想： “对，我们研究了从1开始的连续奇数和的问题，最核心的方法就是‘数形结合’，我们把看不见的‘数’（求和），变成了看得见的‘形’（正方形面积），让复杂的问题变得简单明了。”
价值升华： “‘数形结合’是数学中非常重要的一种思想方法，它告诉我们，当遇到难题时，不要只盯着一种思路，要尝试从不同角度去思考，比如代数角度、几何角度，学会在‘数’与‘形’之间进行转换，你们的数学思维会更加开阔，解决数学问题的能力也会大大提高！”

设计意图： 引导学生梳理本节课的知识脉络和思想方法，将具体问题提升到思想方法的高度，实现知识的内化和迁移，培养学生的数学核心素养。

布置作业，巩固延伸 (约2分钟)

教师活动：

必做题：
- 计算 1 + 3 + 5 + ... + 39 的值，并用图形解释你的计算过程。
- 尝试用“数形结合”的方法解释 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 （高斯求和公式）。
选做题（思维挑战）：
- 你能用图形法解释 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² 吗？（提示：思考如何用小正方体拼成一个大正方体）

设计意图： 巩固本节课所学知识和方法，同时提供选做题，为学有余力的学生提供进一步探究的空间，保持其学习热情。

板书设计

                          初中数学思维训练：数形结合
一、 问题提出：
    1 = 1 = 1²
    1 + 3 = 4 = 2²
    1 + 3 + 5 = 9 = 3²
    1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
    ...
    猜想：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
二、 思想方法：数形结合
    数 (求和)  <--->  形 (正方形面积)
    图示：
        1 → ■ (1x1)
        1+3 → ■■■ (2x2)
              ■
        1+3+5 → ■■■■■ (3x3)
                ■■■
                ■
    ...
三、 结论与应用：
    1. 应用：快速计算连续奇数和。
    2. 拓展：偶数和、平方差公式等。
四、 思想升华：
    数缺形时少直观，形少数时难入微。
    学会多角度思考，转换数学视角。

初中数学思维训练教案