六年级数学第二单元思维导图：分数的混合运算与解决问题
中心主题：分数的混合运算与解决问题
一级分支一：分数的混合运算
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1 运算顺序
- 无括号： 从左到右，同级运算依次计算。
- 有括号： 先算小括号 里面的，再算中括号
[ ]里面的，最后算括号外面的。 - 口诀： 同级运算左到右，不同级先乘除后加减，括号里要最先算。
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2 运算定律与性质
- 加法交换律：
a + b = b + a - 加法结合律：
(a + b) + c = a + (b + c) - 乘法交换律：
a × b = b × a - 乘法结合律：
(a × b) × c = a × (b × c) - 乘法分配律：
(a + b) × c = a × c + b × c(非常重要！)- 逆运用：
a × c + b × c = (a + b) × c(用于简算)
- 逆运用：
- 加法交换律：
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3 简便计算技巧
- 凑整法： 利用互为倒数的数相乘得1，或相加得整数进行简算。
- 例：
1/2 + 1/3 + 1/2 = (1/2 + 1/2) + 1/3 = 1 + 1/3 = 4/3
- 例：
- 提取公因数法： 利用乘法分配律的逆运算。
- 例：
3/4 × 5/7 + 3/4 × 2/7 = 3/4 × (5/7 + 2/7) = 3/4 × 1 = 3/4
- 例：
- 拆分法： 将一个分数拆成两个分数的差或和。
- 例：
1/2 × 3/4 = (1 - 1/2) × 3/4 = 3/4 - 3/8 = 3/8
- 例：
- 凑整法： 利用互为倒数的数相乘得1，或相加得整数进行简算。
一级分支二：解决问题
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1 解题基本步骤
- 审题： 找出已知条件和所求问题。
- 分析： 判断单位“1”的量，找出问题与单位“1”的关系。
- 列式： 根据数量关系，列出算式。
- 计算： 认真计算，注意运算顺序和简便方法。
- 检验： 检查答案是否合理，并写上答语。
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2 核心题型与方法
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A. 求一个数的几分之几是多少
- 数量关系： 单位“1”的量 × 所求量占单位“1”的几分之几 = 所求量
- 关键： 单位“1”的量是已知的。
- 例： 一本书有120页，看了3/4，看了多少页？
120 × 3/4
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B. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数
- 数量关系： 单位“1”的量 × 几分之几 = 已知量 (部分量)
- 解法：
- 方程法： 设单位“1”的量为未知数
x，列方程求解。 - 算术法（除法）： 已知量 ÷ 几分之几 = 单位“1”的量
- 方程法： 设单位“1”的量为未知数
- 关键： 单位“1”的量是未知的。
- 例： 一本书看了90页，正好是全书的3/4，这本书有多少页？
x × 3/4 = 90或90 ÷ 3/4
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C. 求一个数是另一个数的几分之几
- 数量关系： 比较量 ÷ 单位“1”的量 = 分率（几分之几）
- 关键： 找准单位“1”，用“是”或“占”前面的量除以后面的量。
- 例： 甲数是40，乙数是50，甲数是乙数的几分之几？
40 ÷ 50
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3 复杂问题与工程问题
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A. 连续求一个数的几分之几
- 特点： 存在多个单位“1”，或单位“1”在变化。
- 策略： 画线段图是最有效的分析工具！
- 例： 一件商品先提价1/10，再降价1/10，现价和原价相等吗？（不等，降价是基于更高的价格）
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B. 工程问题
- 核心关系： 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率
- 关键设定： 通常把整个工作总量看作单位“1”。
- 数量关系：
1 ÷ 工作时间 = 工作效率工作效率 × 工作时间 = 工作总量 (1)合作效率 = 甲效率 + 乙效率 + ...
- 例： 一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，两队合作几天完成？
(1/10 + 1/15) × x = 1
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一级分支三：易错点与注意事项
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1 运算顺序
- 错误：
1 - 1/2 × 2/3 = 0 × 2/3 = 0 - 正确：
1 - 1/2 × 2/3 = 1 - 1/3 = 2/3 - 提醒： 一定要先算乘除，再算加减！
- 错误：
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2 单位“1”的判断
- 错误： “甲比乙多1/4”，误认为乙是单位“1”，甲是
1 + 1/4 = 5/4，这是对的。 - 陷阱： “乙比甲少1/4”，此时单位“1”是甲，乙是
1 - 1/4 = 3/4，不能认为甲是1 + 1/4。 - 口诀： “比”、“是”、“占”后面的量通常是单位“1”。
- 错误： “甲比乙多1/4”，误认为乙是单位“1”，甲是
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3 计算过程
- 错误：
3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2，计算时分子分母约分错误。 - 提醒： 除以一个分数等于乘它的倒数，计算时要仔细约分，结果要化成最简分数或带分数。
- 错误：
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4 答语与单位
- 错误： 只写数字，忘记写“答”，或忘记带上正确的单位（如：页、天、米等）。
- 提醒： 解答应用题，完整的“答”是必不可少的。
一级分支四：学习建议
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1 画图辅助
线段图是解决分数应用题的“万能钥匙”，遇到复杂问题，先画图，关系一目了然。
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2 多做对比练习
- 对比“A类题”和“B类题”，理解乘法和除法应用题的本质区别。
- 对比“甲比乙多几分之几”和“乙比甲少几分之几”，理解单位“1”的重要性。
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3 重视错题本
把做错的题目,特别是关于运算顺序和单位“1”的题目，整理到错题本上，定期回顾，避免再犯。
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4 联系生活实际
理解分数在生活中无处不在（如折扣、增长率、配料比例等），让数学学习更有趣、更有意义。
