二次函数 思维导图
中心主题：二次函数
第一分支：定义与表达式
- 核心定义：形如
y = ax² + bx + c(a, b, c是常数, a ≠ 0) 的函数。 - 表达式形式
- 一般式：
y = ax² + bx + c- 特点：形式最通用,便于求任意点的函数值。
- 应用：直接用于求对称轴、顶点坐标、判别式等。
- 顶点式：
y = a(x - h)² + k- 特点：能直接看出顶点坐标
(h, k)和对称轴x = h。 - 应用：用于研究函数最值、图像平移、求顶点坐标。
- 特点：能直接看出顶点坐标
- 交点式：
y = a(x - x₁)(x - x₂)- 特点：能直接看出抛物线与x轴的交点坐标
(x₁, 0)和(x₂, 0)。 - 应用：用于求抛物线与x轴的交点、画草图、因式分解。
- 特点：能直接看出抛物线与x轴的交点坐标
- 一般式：
第二分支：图像与性质
- 图像名称：抛物线
- 开口方向
a > 0：开口 向上a < 0：开口 向下
- 对称轴
- 公式：
x = -b / (2a) - 特点：抛物线是轴对称图形,对称轴是垂直于x轴的直线。
- 公式：
- 顶点
- 坐标：
(-b / (2a), (4ac - b²) / (4a))或(h, k)(来自顶点式) - 作用：决定抛物线的最高点或最低点。
- 坐标：
- 增减性
a > 0(开口向上)：x < -b / (2a)时，y随x的增大而 减小。x > -b / (2a)时，y随x的增大而 增大。
a < 0(开口向下)：x < -b / (2a)时，y随x的增大而 增大。x > -b / (2a)时，y随x的增大而 减小。
- 最值
- 当
a > 0时，函数有 最小值,最小值在顶点处取得。 - 当
a < 0时，函数有 最大值,最大值在顶点处取得。 - 最值公式：
y_min/max = (4ac - b²) / (4a)或y_min/max = k(来自顶点式)。
- 当
- 与坐标轴的交点
- 与y轴交点：令
x = 0，则y = c，交点为 (0, c)。 - 与x轴交点：令
y = 0，解方程ax² + bx + c = 0。- 判别式
Δ = b² - 4ac决定交点个数：Δ > 0：两个交点(x₁, 0)和(x₂, 0)。Δ = 0：一个交点（顶点在x轴上）(-b / (2a), 0)。Δ < 0：无交点。
- 判别式
- 与y轴交点：令
第三分支：待定系数法求解析式
- 核心思想：根据已知条件，设出含有未知系数的解析式,然后通过解方程组求出这些系数。
- 常用方法
- 三点法：已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式
y = ax² + bx + c,列方程组求解。 - 顶点+一点法：已知顶点和另一个点，设顶点式
y = a(x - h)² + k,代入另一点求a。 - 交点+一点法：已知与x轴的两个交点和另一个点，设交点式
y = a(x - x₁)(x - x₂),代入另一点求a。
- 三点法：已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式
第四分支：应用
- 求最值问题
- 实际应用：利润最大化、成本最小化、面积最大/最小问题等。
- 解题思路：将实际问题抽象为二次函数模型,利用顶点坐标求最值。
- 一元二次方程根的讨论
- 联系：二次函数
y = ax² + bx + c的图像与x轴的交点横坐标，就是对应方程ax² + bx + c = 0的根。 - 应用：通过图像位置判断根的情况,或通过根的情况判断图像位置。
- 联系：二次函数
- 二次不等式求解
- 联系：求解
ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0,可以看作是寻找二次函数图像在x轴上方或下方的x的取值范围。
- 联系：求解
- 函数图像平移
- 口诀：
左加右减，上加下减(针对顶点式)。 - 变换：
y = ax²→y = a(x - h)² + kh > 0：图像向右平移h个单位。h < 0：图像向左平移|h|个单位。k > 0：图像向上平移k个单位。k < 0：图像向下平移|k|个单位。
- 口诀：
第五分支：与其他知识的联系
- 与一元二次方程的联系
- 函数图像与x轴的交点坐标,就是方程的实数根。
- 判别式 决定了函数图像与x轴的交点个数。
- 与一元二次不等式的联系
不等式的解集是函数图像在x轴上方或下方对应的x的取值范围。
- 与二次三项式因式分解的联系
ax² + bx + c = 0有两个根x₁和x₂，则ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)。
如何制作思维导图图片
您可以使用以下工具,将上述文字结构转化为可视化的思维导图：
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在线工具 (推荐)
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方法
- 新建一个思维导图，中心节点写“二次函数”。
- 创建五个主分支,分别对应上面的五个大标题。
- 在每个主分支下，继续创建子分支,填充详细内容。
- 使用不同的颜色、图标和线条样式来区分不同层级和主题，让导图更清晰、更美观。
- 完成后，可以导出为PNG、JPG或PDF图片格式。
希望这份详细的思维导图结构能对您的学习和梳理有所帮助！
