比和比例思维导图怎么画？初中数学重点怎么记？-益智教育网

比和比例思维导图

中心主题：比和比例

比和比例思维导图怎么画？初中数学重点怎么记？-图1

比

定义
- 两个数相除又叫做这两个数的比。
- 记作 a : b (读作 a 比 b)，a 是前项，b 是后项 (b ≠ 0)。
- 比值：比的前项除以后项所得的商。比值 = a ÷ b。
- 比值通常用分数或小数表示，有时也用整数表示。
各部分关系
- 前项 : 后项 = 比值
- 前项 = 后项 × 比值
- 后项 = 前项 ÷ 比值
性质与化简
- 基本性质：比的前项和后项都 乘以或除以 相同的 不为0的数，比值不变。
- 化简比：把一个比化成 前项和后项是互质数 的最简整数比。
  - 整数比：同时除以前项和后项的 最大公因数。
    - 例：12 : 18 = (12÷6) : (18÷6) = 2 : 3
  - 小数比：先化成整数比，再按整数比化简。
    - 例：4 : 0.6 = 4 : 6 = 2 : 3
  - 分数比：同时乘以前项和后项分母的 最小公倍数，化成整数比，再化简。
    - 例：(1/2) : (1/3) = (1/2×6) : (1/3×6) = 3 : 2
与分数、除法的联系与区别

特征	比 (`a : b`)	分数 (`a/b`)	除法 (`a ÷ b`)
联系	`a : b` 可以看作 `a/b` 或 `a ÷ b`	`a/b` 可以看作 `a : b` 或 `a ÷ b`	`a ÷ b` 可以看作 `a : b` 或 `a/b`
“:”或“-”	比号	分数线	除号
前项/分子/被除数	`a`	`a`	`a`
后项/分母/除数	`b` (`b≠0`)	`b` (`b≠0`)	`b` (`b≠0`)
比值/分数值/商	`a/b`	`a/b`	`a/b`
区别	表示两个数的倍数关系	一个具体的数，可带单位	一种运算

比的应用
- 按比例分配：把一个总量按照一定的比来进行分配。
  - 步骤：
    1. 求出 总份数（比的前项和后项相加）。
    2. 求出 每份的量（总量 ÷ 总份数）。
    3. 求出 各部分的量（每份的量 × 各自的份数）。
  - 例：将 60 按 2:3 分配，总份数=2+3=5，每份=60÷5=12，两部分分别为 2×12=24 和 3×12=36。

比例

定义
- 表示 两个比 相等的式子叫做比例。
- 记作 a : b = c : d 或 a/b = c/d。
- 组成比例的四个数,叫做比例的项。
- 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
  - 在 a : b = c : d 中，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项。
比例的基本性质
- 在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
- a : b = c : d ⇔ a × d = b × c
- 这是解比例和判断能否组成比例的 核心依据。
解比例
- 求比例中的 未知项 的过程，叫做解比例。
- 依据：比例的基本性质（内项积=外项积）。
- 步骤：
  1. 未知项通常是 x，可以位于任何位置。
  2. 根据比例的基本性质,列出两个乘积相等的等式。
  3. 解这个简易方程,求出 x 的值。
- 例：解比例 10 : 4 = 15 : x
  - 10 × x = 4 × 15
  - 10x = 60
  - x = 6
正比例
- 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中 相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做 成正比例 的量，它们的关系叫做 正比例关系。
- 关系式：y / x = k (一定) 或 y = kx (k≠0)
- 图像：一条 经过原点 的直线。
- 例子：
  - 速度一定,路程和时间。
  - 单价一定,总价和数量。
  - 工作效率一定,工作总量和工作时间。
反比例
- 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中 相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做 成反比例 的量，它们的关系叫做 反比例关系。
- 关系式：x × y = k (一定) 或 y = k / x (k≠0)
- 图像：一条 双曲线。
- 例子：
  - 路程一定,速度和时间。
  - 总价一定,单价和数量。
  - 总工作量一定,工作效率和工作时间。

比与比例的联系与区别

特征	比	比例
意义	表示两个数相除，是两个量之间的关系	表示两个比相等的式子，是四个量之间的关系
构成	由两个数组成（前项、后项）	由四个数组成（两个内项、两个外项）
结果	一个数（比值）	一个等式
联系	比例是由两个相等的比组成的	构成比例的两个比的比值相等