级上册数学思维导图涵盖有理数、整式加减等。
七年级上册数学思维导图归纳
有理数
| 知识点 | |
|---|---|
| 有理数的概念 | 整数和分数统称有理数，包括正整数、0、负整数，正分数、负分数，如：$-3$，$0$，$\frac{2}{3}$，$-\frac{1}{2}$ 等都是有理数。 |
| 数轴 | 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，所有有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定都表示有理数（如$\pi$在数轴上但不是有理数），在数轴上，$-2$ 在原点左侧，距离原点 2 个单位长度；$3$ 在原点右侧，距离原点 3 个单位长度。 |
| 相反数 | 只有符号不同的两个数互为相反数，如 $5$ 和 $-5$，$a$ 和 $-a$，特别地，$0$ 的相反数是 $0$，从数轴上看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。 |
| 绝对值 | 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，$0$ 的绝对值是 $0$。$ |
| 有理数的大小比较 | 正数都大于 $0$，负数都小于 $0$，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，在数轴上，右边的数总比左边的数大。$-3 \lt -2$，因为 $-3$ 在 $-2$ 的左边。 |
| 有理数的运算 | 加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如 $(-3) + (-5) = -8$，$(-3) + 5 = 2$。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。$5 (-3) = 5 + 3 = 8$。 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与 $0$ 相乘都得 $0$，如 $(-2) \times 3 = -6$，$(-2) \times (-3) = 6$。 除法：除以一个不为 $0$ 的数，等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号得正，异号得负，如 $6 \div (-2) = -3$，$(-6) \div (-2) = 3$。 乘方：求几个相同因数的积的运算叫乘方，如 $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$，$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$，注意区分 $-2^2 = -(2^2) = -4$ 与 $(-2)^2 = 4$。 |
整式的加减
| 知识点 | |
|---|---|
| 单项式 | 由数或字母的积组成的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如 $3x$，$-2xy^2$，$5$ 等，单项式中的数字因数叫系数，所有字母的指数和叫次数。$-2xy^2$ 的系数是 $-2$，次数是 $3$。 |
| 多项式 | 几个单项式的和叫多项式，如 $3x + 2y 1$，组成多项式的每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数。$3x^2y 2xy + 5$ 是三次三项式，常数项是 $5$。 |
| 整式 | 单项式和多项式统称整式。 |
| 同类项 | 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，如 $3x^2y$ 和 $-5x^2y$ 是同类项。 |
| 合并同类项 | 根据乘法分配律把同类项合并成一项，系数相加，字母和字母的指数不变。$3x^2y 5x^2y = (3 5)x^2y = -2x^2y$。 |
| 去括号法则 | 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号，如 $a + (b c) = a + b c$，$a (b c) = a b + c$。 |
| 整式的加减运算 | 先去括号，再合并同类项。$(3x^2 2xy + y) (2x^2 3xy y) = 3x^2 2xy + y 2x^2 + 3xy + y = x^2 + xy + 2y$。 |
一元一次方程
| 知识点 | |
|---|---|
| 方程的概念 | 含有未知数的等式叫方程，如 $3x + 5 = 11$，$x y = 3$（二元一次方程，不在七上重点范围）等，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 $1$ 的整式方程叫一元一次方程，如 $4x = 12$。 |
| 等式的性质 | 性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。$a = b$，$a \pm c = b \pm c$。 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 $0$ 的数，结果仍相等。$a = b$，$ac = bc$；$a = b$，$c \neq 0$，$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。 |
| 解一元一次方程的步骤 | 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。$\frac{x}{2} \frac{x 1}{3} = 1$，两边同乘 $6$ 得 $3x 2(x 1) = 6$。 去括号：按照去括号法则去掉括号。 移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，如 $3x 2x = 1 + 2$。 合并同类项：将方程化为 $ax = b$（$a \neq 0$）的形式。 系数化为 1：方程两边同除以系数 $a$，得方程的解 $x = \frac{b}{a}$。$5x = 10$，解得 $x = 2$。 |
几何图形初步
| 知识点 | |
|---|---|
| 几何图形 | 从实物中抽象出的各种图形叫几何图形，分为立体图形和平面图形，长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形；三角形、四边形、圆等是平面图形。 |
| 立体图形的展开与折叠 | 一些立体图形可展开成平面图形，而一些平面图形也可折叠成立体图形，如正方体展开图有多种情况，常见的有“一四一”型、“二三一”型、“二二二”型等，通过想象折叠过程可以判断能否围成立体图形。 |
| 点、线、面、体 | 体是由面围成的，面与面相交得到线，线与线相交得到点，点动成线，线动成面，面动成体，流星划过天空留下的痕迹可看作线，汽车雨刷摆动形成一个面。 |
| 直线、射线、线段 | 直线向两方无限延伸，无端点；射线向一方无限延伸，有一个端点；线段有两个端点，不能向任何一方延伸，两点确定一条直线，两点之间线段最短，如要测量两地之间的距离，通常用线段来表示。 |
| 角 | 有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成，角的度量单位有度、分、秒，$1^\circ = 60'$，$1' = 60''$，角分为锐角（小于 $90^\circ$）、直角（等于 $90^\circ$）、钝角（大于 $90^\circ$ 小于 $180^\circ$）、平角（等于 $180^\circ$）、周角（等于 $360^\circ$）。 |
相关问题与解答
问题 1：在有理数运算中，如何快速判断一个式子的结果是正数还是负数？ 解答：先确定式子中的运算符号以及参与运算的数的正负，如果是加法和乘法，根据“同号得正，异号得负”的规则初步判断；如果是减法，可转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数）后再判断；对于多个有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正，再计算数值部分。$(-3) \times (-2) \times (-1)$，有 $3$ 个负因数，结果为负，数值部分为 $3 \times 2 \times 1 = 6$，所以结果是 $-6$。
问题 2：在解一元一次方程时，去分母容易出错，应该注意什么？ 解答：首先找准各分母的最小公倍数，然后方程两边每一项都要乘以这个最小公倍数，不要漏乘任何一项，包括不含分母的常数项，例如解方程 $\frac{x}{3} \frac{x 1}{2} = 1$，最小公倍数是 $6$，两边同乘 $6$ 得 $2x 3(x 1) = 6$，如果漏乘就会得出错误的结果。
