初中数学函数知识体系思维导图
中心主题：函数
第一分支：函数的基础概念
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1 定义
- 两个变量：在一个变化过程中，有两个变量
x和y。 - 对应关系：对于
x的每一个确定的值，y都有 唯一确定 的值与其对应。 y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
- 两个变量：在一个变化过程中，有两个变量
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2 自变量取值范围 (定义域)
- 整式：全体实数 (R)。
- y = 2x - 1
- 分式：分母 ≠ 0。
- y = 1/(x-2) => x ≠ 2
- 二次根式：被开方数 ≥ 0。
- y = √(x+3) => x ≥ -3
- 综合情况：列出不等式组，取各部分的公共解集。
- y = √(x-1)/(x-2) => {x-1≥0, x-2≠0} => x≥1 且 x≠2
- 整式：全体实数 (R)。
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3 函数值
- 定义：当自变量
x在取值范围内取某个值a时，因变量y的对应值。 - 记法：
f(a)。 - 求法：将
x=a代入函数解析式计算。- 对于 y = 2x² - 1，求 f(3)。
- 解：f(3) = 2(3)² - 1 = 29 - 1 = 17。*
- 定义：当自变量
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4 表示方法
- 解析式法：用数学式子（如
y=kx+b）表示。- 优点：精确，便于计算和理论推导。
- 列表法：用表格列出
x和y的对应值。- 优点：直观，能直接看出对应值。
- 图象法：用平面直角坐标系中的曲线表示。
- 优点：直观，能形象地反映函数变化趋势。
- 解析式法：用数学式子（如
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5 直角坐标系
- 构成：原点、x轴（横轴）、y轴（纵轴）、象限。
- 点的坐标：
P(x, y)，横坐标在前，纵坐标在后。 - 点的对称性：
- x 轴对称：横坐标不变，纵坐标取反
(x, -y)。 - y 轴对称：纵坐标不变，横坐标取反
(-x, y)。 - 关于原点对称：横纵坐标都取反
(-x, -y)。
- x 轴对称：横坐标不变，纵坐标取反
第二分支：一次函数
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1 定义
- 一般式：
y = kx + b(k, b 为常数，k ≠ 0)。 - 正比例函数：
y = kx(b=0 时的特例)。
- 一般式：
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2 图象
- 名称：一条直线。
- 画法：两点法（通常取与坐标轴的交点）。
- 与 y 轴交点：
(0, b)(纵截距)。 - 与 x 轴交点：
(-b/k, 0)(横截距)。
- 与 y 轴交点：
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3 性质
- k 的作用：
- k > 0：图象从左到右 上升，y 随 x 的增大而 增大。
- k < 0：图象从左到右 下降，y 随 x 的增大而 减小。
- b 的作用：
- b > 0：图象交 y 轴于正半轴。
- b = 0：图象经过原点 (正比例函数)。
- b < 0：图象交 y 轴于负半轴。
- 增减性：
- k > 0 时，y 随 x 的增大而 增大。
- k < 0 时，y 随 x 的增大而 减小。
- k 的作用：
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4 待定系数法
- 步骤：
- 设函数解析式为
y = kx + b。 - 将已知点的坐标
(x, y)代入，列出关于k和b的方程组。 - 解方程组,求出
k和b的值。 - 将
k和b的值代回y = kx + b，得到解析式。
- 设函数解析式为
- 步骤：
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5 一次函数与方程/不等式的关系
- 与一元一次方程：
kx + b = 0的解是直线y = kx + b与 x 轴交点的 横坐标。 - 与二元一次方程组：两个一次函数图象的 交点坐标 是对应二元一次方程组的 解。
- 与一元一次不等式：
kx + b > 0的解集是直线y = kx + b在 x 轴 上方 所对应的 x 的取值范围。kx + b < 0的解集是直线y = kx + b在 x 轴 下方 所对应的 x 的取值范围。
- 与一元一次方程：
第三分支：反比例函数
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1 定义
- 一般式：
y = k/x(k 为常数，k ≠ 0)。 - 变形：
xy = k。
- 一般式：
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2 图象
- 名称：双曲线。
- 位置：
- k > 0：图象在 三 象限。
- k < 0：图象在 四 象限。
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3 性质
- 增减性：
- k > 0：在每个象限内，y 随 x 的增大而 减小。
- k < 0：在每个象限内，y 随 x 的增大而 增大。
- 注意：不能说“在全体实数范围内”。
- 对称性：
- 关于原点中心对称。
- 关于直线
y=x和y=-x轴对称。
- 渐近线：
x 轴和 y 轴是其渐近线，图象无限接近但永远不会与坐标轴相交。
- 增减性：
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4 待定系数法
- 步骤：
- 设函数解析式为
y = k/x。 - 将已知点的坐标
(x, y)代入。 - 解方程,求出
k的值。 - 将
k的值代回y = k/x，得到解析式。
- 设函数解析式为
- 步骤：
第四分支：二次函数
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1 定义
- 一般式：
y = ax² + bx + c(a, b, c 为常数，a ≠ 0)。
- 一般式：
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2 图象
- 名称：抛物线。
- 关键点：
- 顶点：抛物线的最高点或最低点。
- 坐标：
(-b/2a, (4ac-b²)/4a)。
- 坐标：
- 对称轴：过顶点且平行于 y 轴的直线。
- 方程：
x = -b/2a。
- 方程：
- 与 y 轴交点：
(0, c)。 - 与 x 轴交点：即方程
ax² + bx + c = 0的根，x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a。- 判别式
Δ = b² - 4ac决定了交点个数。
- 判别式
- 顶点：抛物线的最高点或最低点。
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3 三种解析式形式
- 一般式：
y = ax² + bx + c- 适用条件：已知任意三个点的坐标。
- 顶点式：
y = a(x-h)² + k- 适用条件：已知顶点坐标
(h, k)和另一个点。 - (h, k) 就是顶点坐标，对称轴是 x=h。
- 适用条件：已知顶点坐标
- 交点式：
y = a(x-x₁)(x-x₂)- 适用条件：已知抛物线与 x 轴的交点
(x₁, 0)和(x₂, 0)。 - (x₁, x₂) 是方程的两个根。
- 适用条件：已知抛物线与 x 轴的交点
- 一般式：
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4 性质
- 开口方向：
- a > 0：开口 向上。
- a < 0：开口 向下。
- 增减性：
- a > 0：
- 当
x < -b/2a时，y 随 x 的增大而 减小。 - 当
x > -b/2a时，y 随 x 的增大而 增大。
- 当
- a < 0：
- 当
x < -b/2a时，y 随 x 的增大而 增大。 - 当
x > -b/2a时，y 随 x 的增大而 减小。
- 当
- a > 0：
- 最值：
- a > 0：有最小值，当
x = -b/2a时，y_最小值 = (4ac-b²)/4a。 - a < 0：有最大值，当
x = -b/2a时，y_最大值 = (4ac-b²)/4a。
- a > 0：有最小值，当
- 开口方向：
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5 二次函数与一元二次方程的关系
- 判别式
Δ = b² - 4ac的作用：- Δ > 0：抛物线与 x 轴有 两个 交点，方程有两个不相等的实数根。
- Δ = 0：抛物线与 x 轴有 一个 交点（顶点在 x 轴上），方程有两个相等的实数根。
- Δ < 0：抛物线与 x 轴 无 交点，方程无实数根。
- 判别式
第五分支：函数的应用
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1 解决实际问题
- 步骤：
- 审题：理解题意，找出变量。
- 建模：根据等量关系，列出函数解析式。
- 求解：利用函数性质（如最值、增减性）解决问题。
- 作答：检验答案是否符合实际意义，并写出答案。
- 常见模型：利润问题、行程问题、几何图形面积问题等。
- 步骤：
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2 函数思想
- 核心：用运动和联系的观点看待和分析问题。
- 体现：通过变量和函数关系，将实际问题转化为数学模型，利用函数的图象和性质来解决问题。
