高等数学思维导图

中心主题：高等数学

函数、极限与连续

• 函数

  • 定义: 两个非空数集间的对应关系 y = f(x)。
  • 分类:
    • 按定义域: 一元函数、多元函数。
    • 按表达式: 初等函数 (幂、指、对、三、反三角)、非初等函数。
    • 按性质: 有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数。
  • 性质:
    • 有界性: ∃ M > 0, s.t. |f(x)| ≤ M。
    • 单调性: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) (增)。
    • 奇偶性: f(-x) = f(x) (偶), f(-x) = -f(x) (奇)。
    • 周期性: f(x+T) = f(x)。
  • 运算: 四则运算、复合运算、反函数。

• 极限

  • 定义:
    • 数列极限: lim(n→∞) xₙ = A。
    • 函数极限:
      • lim(x→x₀) f(x) = A (左极限=右极限=A)。
      • lim(x→∞) f(x) = A。
  • 性质:
    • 唯一性、有界性、保号性。
    • 夹逼准则 (三明治定理)。
  • 计算方法:
    • 代入法 (连续函数)。
    • 化简法: 因式分解、有理化、分子/分母有理化。
    • 两个重要极限:
      1. lim(x→0) sin(x)/x = 1。
      2. lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
    • 等价无穷小替换 (核心技巧):
      • 当 x→0 时:
        • sin(x) ~ x
        • tan(x) ~ x
        • arcsin(x) ~ x
        • arctan(x) ~ x
        • ln(1+x) ~ x
        • e^x - 1 ~ x
        • 1 - cos(x) ~ (1/2)x²
    • 洛必达法则 (0/0 或 ∞/∞ 型)。
    • 泰勒公式/麦克劳林公式 (高阶替换)。

• 连续

  • 定义: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)。
  • 间断点:
    • 第一类 (左右极限都存在): 可去、跳跃。
    • 第二类 (左右极限至少一个不存在): 无穷、振荡。
  • 闭区间上连续函数的性质:
    • 有界性、最值定理、介值定理、零点存在定理。

一元函数微分学

• 导数与微分

  • 导数:
    • 定义: f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx。
    • 几何意义: 切线斜率。
    • 物理意义: 瞬时速度/变化率。
    • 求导法则:
      • 四则运算。
      • 复合函数求导 (链式法则): dy/dx = dy/du * du/dx。
      • 隐函数求导、参数方程求导。
      • 高阶导数。
  • 微分:
    • 定义: dy = f'(x)dx。
    • 几何意义: 切线纵坐标的增量。
    • 应用: 近似计算 f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx。

• 微分中值定理与导数的应用

  • 中值定理 (核心理论):
    • 罗尔定理: f'(ξ) = 0。
    • 拉格朗日中值定理: f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)。
    • 柯西中值定理: [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)。
  • 导数的应用:
    • 单调性: f'(x) > 0 (增), f'(x) < 0 (减)。
    • 极值:
      • 必要条件: f'(x₀) = 0 或 f'(x₀) 不存在。
      • 第一充分条件: f'(x) 在 x₀ 左右变号。
      • 第二充分条件: f''(x₀) > 0 (极小值), f''(x₀) < 0 (极大值)。
    • 凹凸性与拐点:
      • 凹: f''(x) > 0。
      • 凸: f''(x) < 0。
      • 拐点: f''(x) 变号的点。
    • 渐近线:
      • 水平: lim(x→∞) f(x) = C。
      • 垂直: lim(x→x₀) f(x) = ∞。
      • 斜: lim(x→∞) [f(x)/x] = k 且 lim(x→∞) [f(x)-kx] = b。
    • 曲率: K = |f''(x)| / (1 + [f'(x)]²)^(3/2)。

一元函数积分学

• 不定积分

  • 定义: ∫ f(x)dx = F(x) + C，F'(x) = f(x)。
  • 性质: 线性性。
  • 计算方法 (核心技巧):
    • 直接积分法 (套基本公式)。
    • 第一类换元法 (凑微分法): ∫ f(g(x))g'(x)dx = ∫ f(u)du。
    • 第二类换元法: 三角替换、倒代换、根式替换。
    • 分部积分法: ∫ u dv = uv - ∫ v du (口诀：反对幂三指)。
    • 有理函数积分: 部分分式分解。
    • 三角有理函数积分: 万能代换。

• 定积分

  • 定义: ∫[a,b] f(x)dx = lim(λ→0) Σ[ξᵢ]Δxᵢ (黎曼和)。
  • 几何意义: 曲边梯形面积。
  • 性质: 线性性、可加性、积分中值定理等。
  • 计算:
    • 牛顿-莱布尼茨公式: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
    • 换元法、分部积分法 (与不定积分类似，注意换元要换限)。
  • 反常积分 (广义积分):
    • 无穷限积分: ∫[a,∞) f(x)dx = lim(b→∞) ∫[a,b] f(x)dx。
    • 无界函数积分: ∫[a,b] f(x)dx (瑕点在 a 或 b)。

• 定积分的应用

  • 几何应用:
    • 面积: A = ∫[a,b] |f(x)-g(x)|dx。
    • 体积: 旋转体体积 V = π∫[a,b] [f(x)]²dx，已知截面面积 A(x) 的体积 V = ∫[a,b] A(x)dx。
    • 弧长: L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx。
  • 物理应用:
    • 变力做功: W = ∫[a,b] F(x) dx。
    • 压力、引力 (用微元法 dF = ρg h dA 等)。
  • 微元法思想: “以直代曲、以常代变”，找到 dQ = f(x)dx。

向量代数与空间解析几何

• 向量代数

  • 概念: 向量、模、方向角、方向余弦。
  • 运算:
    • 线性运算 (加减、数乘)。
    • 数量积 (点积): a·b = |a||b|cosθ，结果为标量。a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a₂b₂。
    • 向量积 (叉积): a×b，结果为向量。|a×b| = |a||b|sinθ，方向由右手定则。a×b = |i j k; aₓ aᵧ a₂; bₓ bᵧ b₂|。
    • 混合积: [a b c] = a·(b×c)，结果为标量，等于以 a,b,c 为棱的平行六面体体积。
  • 关系: 垂直 (a·b=0)，平行 (a×b=0)，共面 ([a b c]=0)。

• 空间解析几何

  • 平面方程: 点法式 A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0。
  • 直线方程: 对称式 (x-x₀)/m = (y-y₀)/n = (z-z₀)/p。
  • 曲面方程:
    • 二次曲面: 球面、柱面、锥面、椭球面、抛物面、双曲面。
    • 旋转曲面: y=f(z) 绕 z 轴旋转得 x²+y² = [f(z)]²。
  • 空间曲线方程: 一般式、参数式，投影曲线 (消元法)。

多元函数微分学

• 基本概念

  • 定义: z = f(x, y)。
  • 极限与连续: lim((x,y)→(x₀,y₀)) f(x,y) = A。
  • 偏导数: ∂z/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y) - f(x,y)] / Δx (固定 y)。
  • 全微分: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy。

• 求导法则

  • 复合函数求导 (链式法则):
    • z = f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)。
    • ∂z/∂x = ∂z/∂u * ∂u/∂x + ∂z/∂v * ∂v/∂x。
  • 隐函数求导:
    • F(x,y)=0 ⇒ dy/dx = -Fₓ/Fᵧ。
    • F(x,y,z)=0 ⇒ ∂z/∂x = -Fₓ/F₂。

• 应用

  • 几何应用:
    • 切平面: z-z₀ = fₓ(x₀,y₀)(x-x₀) + fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)。
    • 法线: (x-x₀)/fₓ = (y-y₀)/fᵧ = (z-z₀)/(-1)。
  • 极值:
    • 必要条件: fₓ=0, fᵧ=0 (驻点)。
    • 充分条件: 计算判别式 D = fₓₓfᵧᵧ - (fₓᵧ)²。
      • D > 0 且 fₓₓ > 0 ⇒ 极小值。
      • D > 0 且 fₓₓ < 0 ⇒ 极大值。
      • D < 0 ⇒ 非极值点 (鞍点)。
      • D = 0 ⇒ 不确定。
  • 条件极值: 拉格朗日乘数法，求 f(x,y) 在约束 φ(x,y)=0 下的极值，构造拉格朗日函数 L(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y)。

多元函数积分学

• 二重积分

  • 定义: ∫∫_D f(x,y) dσ。
  • 计算:
    • 直角坐标系:
      • X-型区域**:D: a≤x≤b, y₁(x)≤y≤y₂(x)∫[a,b]dx∫[y₁(x),y₂(x)] f(x,y)dy`。
      • Y-型区域**:D: c≤y≤d, x₁(y)≤x≤x₂(y)∫[c,d]dy∫[x₁(y),x₂(y)] f(x,y)dx`。
    • 极坐标系: x=rcosθ, y=rsinθ, dσ=rdrdθ，常用于圆域、扇形域。
  • 应用: 体积、曲面面积、质量、质心。

• 三重积分

  • 定义: ∫∫∫_Ω f(x,y,z) dv。
  • 计算:
    • 直角坐标系: ∫∫dx∫[z₁(x,y),z₂(x,y)] f(x,y,z)dz。
    • 柱面坐标系: x=rcosθ, y=rsinθ, z=z, dv=rdrdθdz，常用于圆柱体、锥体。
    • 球面坐标系: x=rsinφcosθ, y=rsinφsinθ, z=rcosφ, dv=r²sinφdrdφdθ，常用于球体、球锥。

• 曲线积分与曲面积分

  • 第一类 (对弧长/面积):
    • ∫_L f(x,y) ds (物理意义: 曲线形构件质量)。
    • ∫∫_Σ f(x,y,z) dS。
    • 计算方法: 化为定积分/二重积分 (参数化)。
  • 第二类 (对坐标):
    • ∫_L Pdx + Qdy (物理意义: 变力沿曲线做功)。
    • ∫∫_Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy (物理意义: 流量)。
    • 计算方法: 化为定积分/二重积分 (投影)。
  • 三大公式 (核心理论):
    • 格林公式: ∮_L Pdx+Qdy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy (平面区域)。
      • 应用: 计算曲线积分、求面积。
      • 条件: L 为正向闭曲线，P,Q 在 D 内有连续偏导。
      • 路径无关: ∂Q/∂x = ∂P/∂y。
    • 高斯公式: ∯_Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫∫_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dv (空间闭区域)。
      • 应用: 计算曲面积分、求体积。
    • 斯托克斯公式: ∮_Γ Pdx+Qdy+Rdz = ∫∫_Σ (rot F)·n dS (空间曲面)。
      • 应用: 计算空间曲线积分。

无穷级数

• 常数项级数

  • 定义: Σuₙ = u₁ + u₂ + ... + uₙ + ...。
  • 收敛与发散: 部分和 Sₙ 的极限 lim(n→∞) Sₙ 是否存在。
  • 性质: 线性性、级数收敛的必要条件 (lim(n→∞) uₙ = 0)。
  • 审敛法:
    • 正项级数:
      • 比较审敛法。
      • 比值审敛法 (达朗贝尔判别法): lim(n→∞) uₙ₊₁/uₙ = ρ。ρ<1 收敛, ρ>1 发散。
      • 根值审敛法 (柯西判别法): lim(n→∞) ⁿ√uₙ = ρ。ρ<1 收敛, ρ>1 发散。
    • 交错级数 (莱布尼茨定理): uₙ 单调递减且 lim(n→∞) uₙ = 0 ⇒ 收敛。
    • 任意项级数: 绝对收敛 (Σ|uₙ| 收敛) ⇒ 收敛；条件收敛 (Σuₙ 收敛但 Σ|uₙ| 发散)。

• 幂级数

  • 定义: Σaₙxⁿ 或 Σaₙ(x-x₀)ⁿ。
  • 收敛域: 幂级数收敛的所有 x 的集合，通常是 R、[-R, R]、(-R, R) 等区间。
  • 和函数: S(x) = Σaₙxⁿ。
  • 性质: 在收敛区间内绝对收敛、和函数连续、可逐项积分/求导。
  • 展开: 将函数 f(x) 展开成幂级数 (泰勒级数/麦克劳林级数)。
    • 直接法: 求各阶导数。
    • 间接法 (核心): 利用已知展开式 (如 eˣ, sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)ᵅ) 进行变形、四则运算、逐项积分/求导。

• 傅里叶级数

  • 定义: 将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
  • 展开: 将 f(x) 在 [-π, π] 或 [-l, l] 上展开。
  • 狄利克雷收敛定理: 在连续点处收敛于 f(x)，在间断点处收敛于 [f(x⁺)+f(x⁻)]/2。

常微分方程

• 基本概念

  • 定义: 含有未知函数导数或微分的方程。
  • 阶: 方程中最高阶导数的阶数。
  • 解、通解、特解、初始条件。

• 一阶微分方程

  • 可分离变量: dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
  • 齐次方程: dy/dx = f(y/x) ⇒ 令 u = y/x。
  • 一阶线性: dy/dx + P(x)y = Q(x)。
    • 通解公式: y = e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C]。
  • 伯努利方程: dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ (可化为一阶线性)。

• 可降阶的高阶方程

  • y^(n) = f(x) ⇒ 连续积分 n 次。
  • y'' = f(x,y') ⇒ 令 p=y'。
  • y'' = f(y,y') ⇒ 令 p=y', y''=p dp/dy。

• 高阶线性微分方程

  • 二阶常系数齐次: y'' + py' + qy = 0。
    • 特征方程 r² + pr + q = 0。
    • 根据根 r₁, r₂ 的情况写出通解:
      • r₁ ≠ r₂ (实根): y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)。
      • r₁ = r₂ (重根): y = (C₁ + C₂x)e^(r₁x)。
      • α ± βi (复根): y = e^(αx)(C₁cosβx + C₂sinβx)。
  • 二阶常系数非齐次: y'' + py' + qy = f(x)。
    • 通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的特解。
    • 特解的求法:
      • 待定系数法: f(x) 为 Pₙ(x)e^(λx) 或 e^(λx)sin(βx) 等形式时。
      • 常数变易法: 通用方法。

总结与建议

1. 理解概念: 不要死记硬背公式，要理解每个概念（如极限、导数、积分）的几何和物理意义。
2. 掌握核心: 极限、导数、积分是三大核心，必须熟练掌握，中值定理、三大公式（格林、高斯、斯托克斯）是理论基石。
3. 勤加练习: 数学是“做”出来的，通过大量练习来巩固知识点，熟悉各种题型和解题技巧（尤其是换元法、分部积分法）。
4. 构建体系: 这份思维导图就是帮你构建体系的，学习时，要不断回顾和连接各个章节的知识点，形成一张“知识网络”。
5. 总结归纳: 定期总结，比如总结求极限的10种方法，求积分的10种技巧,这样在考试时才能游刃有余。