物理曲线运动 思维导图
中心主题：物理曲线运动
一级分支 1：核心概念
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1 定义
- 轨迹是曲线的运动。
- 运动方向（速度方向）时刻改变。
- 本质：物体所受的合外力方向（或加速度方向）与速度方向不在同一直线上。
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2 描述运动的物理量
- 瞬时速度 (v)
- 定义：物体在某一时刻或某一位置的速度。
- 方向：轨迹上该点的切线方向。
- 是矢量：既有大小，也有方向。
- 加速度
- 定义：速度的变化率，描述速度变化的快慢和方向。
- 来源：由物体所受的合外力决定 (F合 = ma)。
- 作用：改变速度的大小和/或方向。
- 分解：
- 切向加速度 (aₜ)：沿轨迹切线方向，只改变速度的大小。
- 法向加速度 (aₙ)：沿轨迹法线方向（指向曲线凹侧），只改变速度的方向。
- 总加速度 (a)：是 aₜ 和 aₙ 的矢量和。
- 瞬时速度 (v)
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3 运动的合成与分解
- 思想：化曲为直、化繁为简，将复杂的曲线运动分解为两个简单的直线运动。
- 法则：遵循平行四边形定则（或三角形定则）。
- 独立性：分运动之间互不影响，具有等时性和独立性。
- 应用：所有曲线运动的分析基础。
一级分支 2：典型曲线运动
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1 平抛运动
- 定义：物体以一定的初速度水平抛出，只在重力作用下的运动。
- 受力特点：只受重力 (G = mg)，恒力。
- 加速度：恒定，为重力加速度 g，方向竖直向下。
- 运动性质：匀变速曲线运动。
- 分解 (正交分解)
- 水平方向 (x轴)：匀速直线运动。
- 初速度：v₀ₓ = v₀
- 速度：vₓ = v₀
- 位移：x = v₀t
- 竖直方向 (y轴)：自由落体运动。
- 初速度：v₀ᵧ = 0
- 速度：vᵧ = gt
- 位移：y = ½gt²
- 水平方向 (x轴)：匀速直线运动。
- 重要推论
- 速度方向的反向延长线必过水平位移的中点。
- 任意时刻,瞬时速度方向与水平方向的夹角为 θ，则 tanθ = vᵧ / vₓ = gt / v₀。
- 任意时刻,速度方向与位移方向（从抛出点到该点）的夹角 α 满足 tanα = tan(θ/2)。
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2 斜抛运动
- 定义：物体以一定的初速度斜向上抛出，只在重力作用下的运动。
- 受力特点：只受重力 (G = mg)，恒力。
- 加速度：恒定，为重力加速度 g，方向竖直向下。
- 运动性质：匀变速曲线运动。
- 分解 (正交分解)
- 水平方向 (x轴)：匀速直线运动。
- 初速度：v₀ₓ = v₀cosθ
- 速度：vₓ = v₀cosθ
- 位移：x = v₀cosθ * t
- 竖直方向 (y轴)：匀变速直线运动（竖直上抛/下抛）。
- 初速度：v₀ᵧ = v₀sinθ
- 速度：vᵧ = v₀sinθ - gt
- 位移：y = v₀sinθ * t - ½gt²
- 水平方向 (x轴)：匀速直线运动。
- 重要特征量
- 飞行时间：由竖直方向决定，t = 2v₀sinθ / g。
- 射程 (水平位移最大值)：xₘ = v₀²sin(2θ) / g，当 θ=45° 时，射程最大。
- 最大高度：由竖直方向决定，H = (v₀sinθ)² / (2g)。
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3 匀速圆周运动
- 定义：物体运动的轨迹是圆，并且线速度大小不变的运动。
- 受力特点：合外力大小恒定，方向始终指向圆心（向心力）。
- 加速度：大小恒定，方向始终指向圆心（向心加速度），只改变速度方向。
- 核心物理量
- 线速度 (v)：v = s / t = 2πr / T，大小不变，方向时刻改变（切线方向）。
- 角速度 (ω)：ω = θ / t = 2π / T，描述物体转动的快慢。
- 周期 (T)：运动一周所用的时间。
- 频率：单位时间内转动的圈数，f = 1/T。
- 向心加速度 (aₙ)：aₙ = v²/r = ω²r，描述速度方向变化的快慢。
- 向心力 (Fₙ)：Fₙ = maₙ = mv²/r = mω²r。效果力，可以是重力、弹力、摩擦力等任何性质的力，或它们的合力。
- 离心现象
- 定义：当向心力突然消失或不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体将逐渐远离圆心的现象。
- 本质：物体惯性的体现，物体要保持沿切线方向的运动状态。
一级分支 3：核心规律与万有引力
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1 牛顿运动定律的应用
- 核心思想：F合 = ma，合外力决定了加速度，加速度决定了运动状态的变化。
- 解题步骤：
- 确定研究对象。
- 受力分析：画出物体受到的所有力。
- 运动分析：判断物体的运动轨迹和性质。
- 建立坐标系：通常沿切线方向和法线方向（或正交方向）建立。
- 列方程：
- 切线方向：F合ₜ = maₜ (改变速度大小)
- 法线方向：F合ₙ = maₙ = mv²/r (改变速度方向，提供向心力)
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2 万有引力与航天
- 万有引力定律
- 公式：F = G(m₁m₂)/r²
- G：万有引力常量 (G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- 普遍性、相互性、宏观性。
- 万有引力与重力的关系
- 地球表面附近：重力约等于万有引力，G ≈ mg。
- 天体上：G万 = F向 = mv²/r = mω²r。
- 宇宙速度
- 第一宇宙速度 (v₁)：7.9 km/s，近地卫星的环绕速度，也是物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度。
- 第二宇宙速度 (v₂)：11.2 km/s，物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳飞行的人造行星的最小速度。
- 第三宇宙速度 (v₃)：16.7 km/s，物体挣脱太阳引力束缚，飞出太阳系的最小速度。
- 天体运动模型
- 中心天体质量：由 G(mM)/r² = m(4π²/T²)r 得，M = 4π²r³/(GT²)。
- 卫星运动规律：
- v = √(GM/r)：r 越大，v 越小。
- T = 2π√(r³/GM)：r 越大，T 越大。
- a = GM/r²：r 越大，a 越小。
- 同步卫星：周期与地球自转周期相同 (T=24h)，轨道平面与赤道平面重合，高度和线速度都是唯一确定的。
- 万有引力定律
一级分支 4：解题技巧与典型模型
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1 解题技巧
- 程序法：严格按照“一选、二建、三分解、四列式”的步骤进行。
- 等效法：将复杂的曲线运动等效为两个简单的直线运动。
- 临界极值法：寻找物理过程的“转折点”，如绳的拉力为零、支持力为零、速度最大/最小等。
- 图像法：利用 v-t 图像、x-t 图像分析运动过程。
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2 典型模型
- 绳/杆模型：最高点最小速度。
- 绳模型：最高点 v ≥ √(gL)，T ≥ 0。
- 杆模型：最高点 v ≥ 0，F (支持力或拉力) 可以为零、负（支持力）或正（拉力）。
- 圆锥摆模型：小球在水平面内做匀速圆周运动。
- 向心力来源：重力与绳子拉力的合力。
- F向 = mgtanθ = mv²/r。
- 线速度 v = √(gLsinθtanθ)。
- “水流星”模型：小球在竖直平面内做圆周运动。
- 最高点：v ≥ √(gL)，T + mg = mv²/L。
- 最低点：v' ≥ √(5gL)，T' - mg = mv'²/L。 (机械能守恒可求得 v' 与 v 的关系)
- 平抛与斜面结合模型：平抛运动的落点在斜面上。
- 关键：位移方向与斜面平行。
- tanα = y/x = (½gt²) / (v₀t) = gt / (2v₀)。
- 平抛与圆弧结合模型：平抛运动的物体恰好无碰撞地进入圆弧轨道。
- 关键：在进入点，速度方向与圆弧切线方向相同。
- 即：平抛的末速度方向与水平方向的夹角等于该点圆弧的切线与水平方向的夹角。
- 绳/杆模型：最高点最小速度。
一级分支 5：能量观点
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1 动能定理
- 合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。
- 公式：W合 = ΔEₖ = ½mv₂² - ½mv₁²。
- 应用：尤其适用于求变力做功或曲线运动的末速度。
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2 机械能守恒定律
- 条件：只有重力或系统内的弹力做功。
- 公式：Eₖ₁ + Eₚ₁ = Eₖ₂ + Eₚ₂ 或 ΔEₖ = -ΔEₚ。
- 应用：处理“水流星”、单摆、弹簧振子等与高度和速度相关的问题，往往比牛顿定律更简便。
