整式的乘除 思维导图
中心主题：整式的乘除
整式的乘法
核心思想： 利用幂的运算法则，将单项式相乘/相除转化为系数与系数的运算、同底数幂的运算。
幂的运算 (基础法则)
- 同底数幂的乘法
- 法则：
a^m · a^n = a^(m+n)(m, n为正整数) - 要点： 底数不变,指数相加。
- 例子：
x² · x³ = x^(2+3) = x⁵
- 法则：
- 幂的乘方
- 法则：
(a^m)^n = a^(m·n)(m, n为正整数) - 要点： 底数不变,指数相乘。
- 例子：
(y³)⁴ = y^(3·4) = y¹²
- 法则：
- 积的乘方
- 法则：
(ab)^n = a^n · b^n(n为正整数) - 要点： 把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
- 例子：
(2xy)³ = 2³ · x³ · y³ = 8x³y³
- 法则：
单项式乘法
- 法则： 系数相乘，同底数幂相乘,单独的字母连同它的指数一起作为积的一个因式。
- 步骤：
- 系数相乘（注意符号）。
- 相同字母的幂相乘（用同底数幂乘法法则）。
- 只在一个单项式中出现的字母,连同它的指数作为积的一部分。
- 例子：
(-3a²b) · (2ab³c) = (-3)·2 · (a²·a) · (b·b³) · c = -6a³b⁴c
单项式与多项式相乘
- 法则： 单项式乘以多项式的每一项,再把所得的积相加。
- 公式：
m(a + b + c) = ma + mb + mc - 要点： 体现分配律,注意符号。
- 例子：
2x(x² - 3x + 1) = 2x·x² + 2x·(-3x) + 2x·1 = 2x³ - 6x² + 2x
多项式与多项式相乘
- 法则： 多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
- 公式：
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn - 要点： 常用“逐项相乘法”或“画线法”来避免遗漏。
- 特殊乘法公式 (非常重要！)
- 平方差公式：
(a + b)(a - b) = a² - b²- 特征： 两个二项式，两项相同，两项相反,结果是平方差。
- 例子：
(x + 5)(x - 5) = x² - 25
- 完全平方公式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²- 特征： 两数和/差的平方，等于它们的平方和，加上/减去它们积的两倍。
- 口诀： “首平方，尾平方，中间两倍乘积，符号看前方。”
- 例子：
(2x - 3y)² = (2x)² - 2·(2x)·(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy + 9y²
- 平方差公式：
整式的除法
核心思想： 整式除法是整式乘法的逆运算,同样利用幂的运算法则。
同底数幂的除法
- 法则：
a^m ÷ a^n = a^(m-n)(a ≠ 0, m, n为正整数, 且 m > n) - 要点： 底数不变,指数相减。
- 特殊情况：
a⁰ = 1(a ≠ 0),任何不等于0的数的0次幂都等于1。 - 例子：
x⁶ ÷ x² = x^(6-2) = x⁴
单项式除法
- 法则： 系数相除，同底数幂相除，作为商的因式，只在被除式中出现的字母,连同它的指数也作为商的一个因式。
- 步骤：
- 系数相除（注意符号）。
- 相同字母的幂相除（用同底数幂除法法则）。
- 只在被除式中出现的字母,连同它的指数作为商的一部分。
- 例子：
12a³b²c ÷ 3ab² = (12÷3) · (a³÷a) · (b²÷b²) · c = 4a²c
多项式除以单项式
- 法则： 多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
- 公式：
(ma + mb + mc) ÷ m = a + b + c - 要点： 体现分配律,注意每一项的符号。
- 例子：
(6x³y - 8x²y²) ÷ (2x²y) = (6x³y ÷ 2x²y) + (-8x²y² ÷ 2x²y) = 3x - 4y
多项式除以多项式 (竖式除法)
- 适用： 一般用于一个多项式除以一个次数较低的多项式。
- 步骤：
- 排列： 将被除式和除式按同一个字母的降幂排列,缺项留空或补0。
- 运算： 用除式的第一项去除被除式的第一项,得到商的第一项。
- 相乘： 将商的第一项与整个除式相乘,得到积。
- 相减： 用被除式减去这个积（注意变号）。
- 重复： 将上一步得到的差当作新的被除式，重复步骤2-4,直到余式的次数低于除式的次数。
- 结果表示：
被除式 = 除式 × 商式 + 余式
核心思想与方法
- 转化思想：
- 多项式乘法转化为单项式乘法。
- 多项式除法转化为单项式除法。
- 数形结合思想：
- 面积模型理解乘法公式（如
(a+b)²可以看作边长为a+b的正方形面积）。
- 面积模型理解乘法公式（如
- 整体思想：
- 把一个多项式或一个代数式看作一个整体进行运算。
- 例子：
(x+y)² - 2(x+y) + 1，可以把(x+y)看作一个整体a，原式变为a² - 2a + 1,便于化简。
- 逆向思维：
- 利用乘法公式进行因式分解（整式乘除的逆过程）。
- 利用除法验证乘法的结果是否正确。
易错点与注意事项
- 符号问题： 在运算过程中，负号的处理是最大的易错点,尤其是在使用分配律和进行减法运算时。
- 指数运算：
- 混淆同底数幂的乘法（指数相加）和幂的乘方（指数相乘）。
- 忽略
a⁰ = 1的前提条件a ≠ 0。
- 漏项：
- 多项式乘法时,容易漏掉某些项的乘积。
- 多项式除法时,容易漏掉缺项。
- 公式应用：
- 死记硬背公式的形式，不理解其结构特征,导致无法灵活应用。
(-a-b)²应先转化为[-(a+b)]²或(-a-b)² = [-(a+b)]² = (a+b)²，再应用完全平方公式，而不是直接套用a²-2ab+b²。
- 运算顺序： 遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里”的顺序。
实际应用
- 几何计算： 计算不规则图形的面积、周长，长方体、圆柱体的表面积和体积。
- 代数化简与求值： 化简复杂的代数表达式,再代入字母的值进行求值。
- 解方程与不等式： 在解高次方程或分式方程时,经常用到整式的乘除。
- 因式分解： 为后续学习分式和二次函数打下基础。
