数学 - 宏观思维导图
中心主题：数学
一级分支 1：基础数学
这是所有数学分支的基石，也是最核心的部分。
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1 算术
- 核心概念： 数的运算、数论初步
- 四则运算
- 分数、小数、百分数
- 比例与比例尺
- 因数与倍数
- 质数与合数
- 最大公约数 & 最小公倍数
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2 代数
- 核心概念： 用符号表示数，研究数量关系和结构。
- 初等代数：
- 代数式
- 方程 (一元一次/二次方程、方程组)
- 不等式
- 函数 (一次、二次、反比例函数)
- 高等代数：
- 集合论
- 逻辑与证明
- 矩阵与行列式
- 向量空间
- 群、环、域 (抽象代数)
- 初等代数：
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3 几何
- 核心概念： 研究空间、形状、大小和相对位置。
- 平面几何：
- 点、线、面、角
- 三角形、四边形、多边形
- 圆
- 全等与相似
- 面积与周长
- 立体几何：
- 点、线、面、体
- 柱、锥、台、球
- 体积与表面积
- 空间中的位置关系
- 解析几何：
- 笛卡尔坐标系
- 直线与圆锥曲线 (圆、椭圆、抛物线、双曲线)
- 非欧几何：
- 球面几何
- 双曲几何
- 平面几何：
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4 三角学
- 核心概念： 研究三角形边角关系。
- 三角函数 (正弦、余弦、正切等)
- 三角恒等式
- 解三角形 (正弦定理、余弦定理)
- 三角函数的图像与性质
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5 微积分
- 核心概念： 研究变化的数学，极限是其灵魂。
- 极限与连续性
- 微分学：
- 导数与求导法则
- 导数的应用 (切线、速度、最优化问题)
- 积分学：
- 不定积分 & 定积分
- 积分的应用 (面积、体积、路程)
- 多变量微积分：
- 偏导数
- 多重积分
- 向量微积分 (梯度、散度、旋度)
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6 概率论与数理统计
- 核心概念： 研究随机现象和数据分析。
- 概率论：
- 随机事件与概率
- 条件概率与贝叶斯定理
- 随机变量及其分布 (离散、连续)
- 大数定律与中心极限定理
- 数理统计：
- 抽样与抽样分布
- 参数估计 (点估计、区间估计)
- 假设检验
- 回归分析
- 概率论：
一级分支 2：应用数学
将数学理论应用于解决现实世界问题的学科。
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1 运筹学
- 核心概念： 在有限资源下寻求最优决策。
- 线性规划
- 整数规划
- 动态规划
- 图论 (最短路径、网络流)
- 排队论
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2 数值分析 / 计算数学
- 核心概念： 设计和分析用计算机解决数学问题的算法。
- 数值逼近 (插值、拟合)
- 数值积分与微分
- 线性方程组求解
- 矩阵计算
- 微分方程数值解
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3 离散数学
- 核心概念： 研究不连续的、离散的结构，是计算机科学的数学基础。
- 集合论
- 数理逻辑
- 图论
- 组合数学 (排列、组合、生成函数)
- 算法与数据结构
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4 金融数学
- 核心概念： 用数学模型和理论解决金融问题。
- 资产定价模型 (如 Black-Scholes 模型)
- 金融衍生品定价
- 风险管理
- 时间序列分析
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5 精算科学
- 核心概念： 评估财务风险，主要应用于保险和养老金领域。
- 生存模型
- 损失分布
- 精算现值
- 准备金评估
一级分支 3：纯粹数学
以探索知识本身为目的，追求逻辑的严谨性和结构的优美性。
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1 分析学
- 核心概念： 在微积分基础上进行更深入的抽象和推广。
- 实分析 (实数理论、函数论)
- 复分析 (复变函数、共形映射)
- 泛函分析 (函数空间、算子理论)
- 调和分析 (傅里叶分析)
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2 代数学
- 核心概念： 研究各种代数结构及其性质。
- 抽象代数 (群、环、域、模)
- 同调代数
- 表示论
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3 几何与拓扑学
- 核心概念： 在更高层次上研究空间的性质，更关注“连续性”和“形状”而非“距离”。
- 拓扑学 (点集拓扑、代数拓扑)
- 微分几何 (流形、曲率、联络)
- 黎曼几何
- 代数几何
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4 数论
- 核心概念： 研究整数的性质，被誉为“数学的皇后”。
- 初等数论
- 解析数论
- 代数数论
- 计算数论 (密码学应用)
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5 逻辑学
- 核心概念： 研究推理、证明和计算的本质。
- 模型论
- 证明论
- 递归论
- 集合论基础
一级分支 4：交叉学科与前沿领域
数学与其他学科结合或自身发展的最前沿。
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1 数学物理
- 应用领域： 广义相对论、量子场论、弦理论、混沌理论。
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2 生物数学 / 数学生物学
- 应用领域： 种群动力学、流行病模型、基因分析、神经网络。
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3 数据科学与机器学习
- 核心数学： 线性代数、概率论、最优化理论、信息论、统计学。
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4 密码学
- 核心数学： 数论 (特别是数论)、抽象代数、椭圆曲线。
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5 信息论
- 核心概念： 量化信息、熵、通信和数据的极限。
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6 计算复杂性理论
- 核心概念： 研究解决计算问题所需资源（时间、空间）的极限。
一级分支 5：数学工具与史哲
支撑数学发展的工具和思想。
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1 数学软件与工具
- 数值计算： MATLAB, Mathematica, Maple
- 编程语言： Python (NumPy, SciPy, Pandas, TensorFlow), R, Julia
- 排版系统： LaTeX
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2 数学史
- 古代： 古埃及、巴比伦、希腊 (欧几里得、阿基米德)
- 东方： 古代中国、印度、阿拉伯 (代数、十进制)
- 近代： 文艺复兴、牛顿与莱布尼茨 (微积分)
- 现代： 19世纪-至今 (严格化、抽象化、公理化)
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3 数学史与数学哲学
- 数学哲学： 数学是发现的还是发明的？数学的本质是什么？
- 三大流派： 逻辑主义、直觉主义、形式主义。
如何使用这份思维导图
- 建立全局观： 这张图展示了数学的“地图”，你可以用它来了解自己目前在哪个位置，以及未来的学习方向可以通往何方。
- 定位学习： 如果你正在学习某个具体课程（如“线性代数”），你可以从这张图中找到它的位置（属于“高等代数” -> “线性代数”），并了解它与其他分支（如“解析几何”、“机器学习”）的联系。
- 规划路径： 想进入某个领域（如“机器学习”），你可以顺着“数据科学与机器学习”这个分支，回溯其所需的核心数学基础（“线性代数”、“概率论”、“最优化”）。
- 激发兴趣： 看到像“弦理论”、“密码学”这样的前沿领域，可以激发你去了解其背后的数学原理（如“微分几何”、“数论”）。
希望这份详细的思维导图能帮助你更好地理解数学这个宏伟的学科！
