高一数学必修四思维导图

中心主题： 高中数学必修四（三角函数与三角恒等变换）

第一部分：三角函数

核心： 研究周期性现象的数学模型，是几何与代数的完美结合。

1 任意角和弧度制

• 1.1 角的概念的推广

  • 定义： 一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
  • 要素：
    • 顶点： 射线的端点。
    • 始边： 旋转的起始位置（通常为x轴正半轴）。
    • 终边： 旋转的终止位置。
  • 分类：
    • 正角： 逆时针旋转。
    • 负角： 顺时针旋转。
    • 零角： 不旋转。
  • 象限角与轴线角：
    • 象限角： 终边落在哪个象限，就是第几象限角。
    • 轴线角： 终边落在坐标轴上。
  • 终边相同的角：
    • 定义： 与角α终边相同的所有角。
    • 集合表示： S = {β | β = α + k·360°, k ∈ Z} 或 S = {β | β = α + 2kπ, k ∈ Z}

• 1.2 弧度制

  • 定义： 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad。
  • 弧度与角度的换算：
    • π rad = 180°
    • 1° = (π/180) rad
    • 1 rad = (180/π)°
  • 弧长公式： l = |α|·r (α为弧度制)
  • 扇形面积公式： S = (1/2)·l·r = (1/2)·r²·|α| (α为弧度制)

2 任意角的三角函数

• 2.1 三角函数的定义

  • 单位圆定义： 在直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)。
    • 正弦： sin α = y
    • 余弦： cos α = x
    • 正切： tan α = y/x (x ≠ 0)
  • 坐标定义： 在直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P(a, b)，到原点距离为 r = √(a²+b²)。
    • sin α = b/r
    • cos α = a/r
    • tan α = b/a (a ≠ 0)

• 2.2 三角函数线

  • 正弦线： 有向线段 MP (M为P的垂足)
  • 余弦线： 有向线段 OM
  • 正切线： 有向线段 AT (T为单位圆过点(1,0)的切线与终边的交点)
  • 作用： 直观地表示三角函数值的正负和大小。

• 2.3 三角函数值的符号

  • 一全正，二正弦，三正切，四余弦。
  • 口诀记忆： "All Students Take Calculus" (A: All, S: Sin, T: Tan, C: Cos)

• 2.4 同角三角函数的基本关系式

  • 平方关系： sin²α + cos²α = 1
  • 商数关系： tan α = sin α / cos α

• 2.5 诱导公式

  • 口诀： "奇变偶不变，符号看象限。"
  • (一) α + k·2π (k∈Z)： 函数值不变。
  • (二) ： 函数值变，符号看原函数在原象限的符号。
  • (三) α + π/2： 奇函数变（sin↔cos, tan↔cot），符号看原函数在原象限的符号。
  • (四) ： 偶函数不变（sin, tan, cot变），符号看原函数在原象限的符号。

3 三角函数的图象与性质

• 3.1 正弦函数 y = sin x

  • 图象： 波浪线，对称中心 (kπ, 0)，对称轴 x = π/2 + kπ。
  • 定义域： R
  • 值域： [-1, 1]
  • 周期性： 周期 T = 2π。
  • 奇偶性： 奇函数。
  • 单调性：
    • 增区间：[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]
    • 减区间：[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]

• 3.2 余弦函数 y = cos x

  • 图象： 波浪线，对称中心 (π/2 + kπ, 0)，对称轴 x = kπ。
  • 定义域： R
  • 值域： [-1, 1]
  • 周期性： 周期 T = 2π。
  • 奇偶性： 偶函数。
  • 单调性：
    • 增区间：[-π + 2kπ, 2kπ]
    • 减区间：[2kπ, π + 2kπ]

• 3.3 正切函数 y = tan x

  • 图象： 被直线 x = π/2 + kπ 隔断的曲线。
  • 定义域： {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
  • 值域： R
  • 周期性： 周期 T = π。
  • 奇偶性： 奇函数。
  • 单调性： 在每个开区间 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) 上是增函数。

• 3.4 函数 y = A sin(ωx + φ) 的图象

  • 关键要素：
    • A： 振幅，决定波峰波谷的高度 (A > 0)。
    • 角频率，影响周期 (T = 2π/|ω|)。
    • 初相，影响图象的左右平移。
  • 图象变换（“五点法”作图）：
    • 平移变换： y = sin(x) → y = sin(x + φ) (左移φ个单位)。
    • 周期变换： y = sin(x) → y = sin(ωx) (横坐标伸缩为原来的1/ω)。
    • 振幅变换： y = sin(x) → y = A sin(x) (纵坐标伸缩为原来的A倍)。
    • 顺序： 先平移，再伸缩；或先伸缩，再平移（注意平移量变化）。

第二部分：平面向量

核心： 既有大小又有方向的量，是几何与代数的桥梁，用于处理空间、力、速度等问题。

1 平面向量的实际背景及基本概念

• 1.1 向量的概念
  • 定义： 既有大小又有方向的量。
  • 表示： a 或 AB (A为起点，B为终点)。
  • 模： 向量的大小，记作 |a| 或 |AB|。
  • 零向量： 模为0的向量，方向任意。
  • 单位向量： 模为1的向量。
  • 平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量。a // b。
  • 相等向量： 模相等且方向相同的向量。
  • 相反向量： 模相等且方向相反的向量。

2 平面向量的线性运算

• 2.1 向量加法

  • 法则：
    • 三角形法则： AB + BC = AC
    • 平行四边形法则： 以a, b为邻边作平行四边形，a+b为对角线。
  • 运算律： 交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。

• 2.2 向量减法

  • 法则： a - b = a + (-b)。
  • 几何意义： a - b 是从b的终点指向a的终点的向量。

• 2.3 数乘向量

  • 定义： 实数λ与向量a的积 λa。
  • 模与方向：
    • |λa| = |λ|·|a|
    • 当 λ > 0 时，λa 与 a 同向；当 λ < 0 时，λa 与 a 反向。
  • 运算律： λ(μa) = (λμ)a，(λ+μ)a = λa+μa，λ(a+b) = λa+λb。

• 2.4 共线向量定理

  • 向量a与非零向量b共线，当且仅当有一个实数λ，使得 a = λb。

3 平面向量的基本定理及坐标表示

• 3.1 平面向量基本定理

  • 如果e₁, e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。
  • 基底： e₁, e₂ 叫做这个平面内所有向量的一组基底。

• 3.2 向量的坐标表示

  • 定义： 在直角坐标系中，设i, j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若 a = xi + yj，则 a 的坐标为 (x, y)。
  • 运算的坐标化：
    • 加法： a+b = (x₁+x₂, y₁+y₂)
    • 减法： a-b = (x₁-x₂, y₁-y₂)
    • 数乘： λa = (λx₁, λy₁)
    • 共线： a // b ⇔ x₁y₂ - x₂y₁ = 0

4 平面向量的数量积

• 4.1 数量积的定义

  • 定义： a·b = |a||b|cosθ (θ是a与b的夹角)。
  • 几何意义： a的模与b在a方向上的投影的乘积。
  • 结果： 一个实数（标量）。

• 4.2 数量积的坐标运算

  • 公式： a·b = x₁x₂ + y₁y₂
  • 重要应用：
    • 模： |a| = √(a·a) = √(x₁²+y₁²)
    • 夹角： cosθ = (a·b) / (|a||b|) = (x₁x₂+y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²))
    • 垂直： a⊥b ⇔ a·b = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

5 平面向量应用举例

• 几何应用：
  • 证明线段平行、垂直、相等。
  • 计算夹角、长度、面积。
• 物理应用：
  • 力的合成与分解（向量加法）。
  • 功的计算（数量积 W = F·s）。

第三部分：三角恒等变换

核心： 利用恒等式对复杂的三角函数式进行化简、求值和证明。

1 两角和与差的余弦、正弦、正切

• 1.1 两角和与差的余弦公式

  • cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
  • cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

• 1.2 两角和与差的正弦公式

  • sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
  • sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ

• 1.3 两角和与差的正切公式

  • tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) (α+β ≠ π/2 + kπ)
  • tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ) (α-β ≠ π/2 + kπ)

2 二倍角公式

• 来源： 在和角公式中令 。
• 余弦二倍角公式（三个形式）：
  • cos(2α) = cos²α - sin²α
  • cos(2α) = 2cos²α - 1 (降幂公式)
  • cos(2α) = 1 - 2sin²α (降幂公式)
• 正弦二倍角公式：
  • sin(2α) = 2sinαcosα
• 正切二倍角公式：
  • tan(2α) = 2tanα / (1 - tan²α) (α ≠ π/4 + kπ/2)

3 简单的三角恒等变换

• 核心思想：
  • 统一角： 将不同名的角通过关系式（如 α = (α+β)/2 + (α-β)/2）进行统一。
  • 统一名： 将不同名的函数通过同角关系式（平方关系、商数关系）进行统一，通常化为“弦”（sin, cos）。
  • 降次/升次： 利用二倍角公式的降幂形式 sin²α = (1-cos2α)/2 和 cos²α = (1+cos2α)/2。
  • 灵活运用： 熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用。

总结与建议

1. 数形结合： 三角函数和向量都高度依赖图形，学习时一定要勤画图，利用单位圆、向量图来理解抽象概念。
2. 公式的记忆与应用： 必须熟练掌握所有公式，不仅要记住形式，更要理解其来源和适用条件，多练习，在应用中加深理解。
3. 逻辑联系： 注意必修四各部分之间的联系，向量的数量积可以用来计算夹角，而夹角又是三角函数的核心概念之一。
4. 错题本： 建立错题本，记录典型错误和难题，定期回顾，查漏补缺。

希望这份思维导图能帮助你更好地学习高一数学必修四！