与几何思维导图，含点线面体，各类图形性质、关系及测量计算等知识
图形与几何的思维导图
基础概念
（一）点、线、面、体
| 类别 |
定义 |
举例 |
| 点 |
有位置而无大小的几何基本元素，是构成几何图形的最基本单位 |
平面直角坐标系中的坐标点$(1,2)$ |
| 线 |
由无数个点组成的，具有长度而无宽度的几何元素，分为直线和曲线 |
直线$y = 2x + 1$，曲线如抛物线$y = x^{2}$ |
| 面 |
由线运动轨迹形成，有长度和宽度，无厚度的几何元素 |
长方形桌面、三角形的面等 |
| 体 |
由面围成的，具有长、宽、高的空间几何元素 |
正方体、球体等 |
（二）角
| 类型 |
定义 |
度量范围 |
特征 |
| 锐角 |
大于$0^{\circ}$而小于$90^{\circ}$的角 |
$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ |
两条边夹得较窄 |
| 直角 |
等于$90^{\circ}$的角 |
$\theta = 90^{\circ}$ |
常见于正方形、长方形的内角等 |
| 钝角 |
大于$90^{\circ}$而小于$180^{\circ}$的角 |
$90^{\circ}<\theta<180^{\circ}$ |
比直角开口大 |
| 平角 |
等于$180^{\circ}$的角 |
$\theta = 180^{\circ}$ |
两条边成一条直线，方向相反 |
| 周角 |
等于$360^{\circ}$的角 |
$\theta = 360^{\circ}$ |
一条射线绕端点旋转一周形成的角 |
平面图形
（一）三角形
按角分类
| 类型 |
定义 |
性质 |
| 锐角三角形 |
三个内角都是锐角的三角形 |
任意两边平方和大于第三边平方，如$\triangle ABC$中，若$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$都是锐角，则$a^{2}+b^{2}>c^{2}$（a$、$b$、$c$分别为对应边） |
| 直角三角形 |
有一个内角是直角的三角形 |
满足勾股定理，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（c$为斜边），如常见的$3 4 5$三角形 |
| 钝角三角形 |
有一个内角是钝角的三角形 |
最大边平方大于另外两边平方和，例如在$\triangle DEF$中，若$\angle D$为钝角，则$d^{2}>e^{2}+f^{2}$ |
按边分类
| 类型 |
定义 |
性质 |
| 等边三角形 |
三条边都相等的三角形 |
三个内角都是$60^{\circ}$，是轴对称图形，有三条对称轴 |
| 等腰三角形 |
有两条边相等的三角形 |
两底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴（底边上的高所在的直线） |
| 不等边三角形 |
三条边都不相等的三角形 |
没有特殊的边和角的相等关系，但内角和为$180^{\circ}$ |
面积计算
| 公式 |
适用情况 |
示例 |
| $S=\frac{1}{2}ah$（a$为底边长，$h$为对应的高） |
已知底边和对应的高时使用 |
已知$\triangle ABC$底边$BC = 6$，高$AD = 4$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12$ |
| $S=\frac{1}{2}ab\sin C$（a$、$b$为两边长，$C$为这两边夹角） |
已知两边及其夹角时使用 |
在$\triangle DEF$中，$DE = 3$，$DF = 5$，$\angle EDF = 60^{\circ}$，则$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}\times3\times5\times\sin60^{\circ}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$ |
（二）四边形
平行四边形
- 定义：两组对边分别平行的四边形。
- 性质：
- 对边平行且相等。
- 对角相等。
- 邻角互补。
- 对角线互相平分。
- 面积计算：$S = ab\sin\theta$（a$、$b$为相邻两边长，$\theta$为两边夹角），或者$S = \frac{1}{2}d{1}d{2}\sin\alpha$（d{1}$、$d{2}$为对角线长，$\alpha$为对角线夹角）。
矩形
- 定义：有一个角是直角的平行四边形。
- 性质：
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四个角都是直角。
- 对角线相等。
- 面积计算：$S = ab$（a$、$b$为长和宽）。
菱形
- 定义：四条边都相等的平行四边形。
- 性质：
- 具有平行四边形的所有性质。
- 对角线互相垂直且平分每组对角。
- 面积计算：$S = \frac{1}{2}d{1}d{2}$（d{1}$、$d{2}$为对角线长）。
正方形
- 定义：既是矩形又是菱形的四边形。
- 性质：
- 具有矩形和菱形的所有性质。
- 四条边都相等,四个角都是直角。
- 对角线相等且互相垂直平分。
- 面积计算：$S = a^{2}$（a$为边长）。
梯形
- 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，平行的两边叫做底，较短的底叫上底，较长的底叫下底，两底间的距离叫高，另外两边叫腰,两腰相等的梯形叫等腰梯形。
- 性质（以等腰梯形为例）：
- 两底平行,两腰相等。
- 同一底上的两个角相等。
- 对角线相等。
- 面积计算：$S=\frac{1}{2}(a + b)h$（a$、$b$为上下底长，$h$为高）。
立体图形
（一）棱柱
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面,侧棱平行且相等。
- 性质：
- 底面是全等的多边形。
- 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）。
- 平行于底面的截面与底面是全等的多边形。
- 表面积计算：$S = 2S{底}+S{侧}$（S{底}$为底面积，$S{侧}$为侧面积，侧面积等于底面周长乘以高）。
- 体积计算：$V = S_{底}h$（h$为高）。
（二）棱锥
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体，多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
- 性质：
- 底面是多边形,侧面是三角形。
- 平行于底面的截面与底面是相似的多边形,且面积比等于相似比的平方。
- 表面积计算：$S = S{底}+S{侧}$（侧面积计算公式较复杂，需根据侧面展开图计算，一般涉及三角形面积计算）。
- 体积计算：$V = \frac{1}{3}S_{底}h$（h$为高）。
（三）圆柱
- 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做圆柱的轴，平行于轴的两条母线的截面叫做圆柱的底面,另一条母线旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。
- 性质：
- 两个底面是半径相等的圆,侧面展开图是矩形。
- 平行于底面的截面与底面是等圆。
- 表面积计算：$S = 2\pi r^{2}+2\pi rh$（r$为底面半径，$h$为高）。
- 体积计算：$V = \pi r^{2}h$。
（四）圆锥
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做圆锥的轴，另一条直角边旋转形成的圆叫做圆锥的底面,斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
- 性质：
- 底面是圆,侧面展开图是扇形。
- 平行于底面的截面与底面是相似的圆,且面积比等于相似比的平方。
- 表面积计算：$S = \pi r^{2}+\pi rl$（r$为底面半径，$l$为母线长）。
- 体积计算：$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$（h$为高）。
（五）球体
- 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的几何体。
- 性质：
- 球面上任意一点到球心的距离相等,这个距离叫做球的半径。
- 截面都是圆（经过球心的截面圆最大，其半径等于球的半径）。
- 表面积计算：$S = 4\pi r^{2}$（r$为半径）。
- 体积计算：$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$。
图形变换
（一）平移
- 定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移,平移不改变图形的形状和大小。
- 性质：
- 平移后对应线段平行且相等。
- 平移后对应角相等。
- 平移前后图形全等。
（二）旋转
- 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角,旋转不改变图形的形状和大小。
- 性质：
- 旋转后对应线段相等,对应角相等。
- 旋转前后图形全等。
- 对应点到旋转中心的距离相等。
（三）轴对称
- 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点叫做对应点。
- 性质：
- 对称轴垂直平分对应点连线。
- 轴对称图形对应线段相等,对应角相等。
- 成轴对称的两个图形全等。
相关问题与解答
问题1：如何判断一个四边形是平行四边形？
答：有以下几种方法：一是两组对边分别平行（可根据平行线的判定定理，如同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来证明对边平行）；二是两组对边分别相等；三是一组对边平行且相等；四是对角线互相平分，满足其中任意一种情况，该四边形就是平行四边形，在四边形$ABCD$中，若$\angle ABE=\angle DCE$（同位角相等，两直线平行），可推出$AB\parallel DC$，同理可证$AD\parallel BC$，那么四边形$ABCD$就是平行四边形。
问题2：圆锥的侧面积公式是如何推导出来的？
答：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，圆锥的底面周长为$2\pi r$，展开后的扇形弧长也是$2\pi r$，而扇形的面积公式是$\frac{1}{2}lr$（l$为扇形弧长，$r$为扇形半径），
